Seja x in R tal que raiz[3]x+5-raiz[3]x-5=1. Determine os possíveis valores para x.
(Resp: x= pm 2 raiz13 )

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores reais de x tais que raiz[3]x+5 - raiz[3]x-5 = 1. O conteúdo é resolução de equação com raízes cúbicas e vamos precisar da fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Definimos a = raiz[3]x+5 e b = raiz[3]x-5. Então temos: a - b = 1 e, por definição de cubo, a^3 = x + 5e b^3 = x - 5

Passo 3

Usamos a identidade de fatoração (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 Como a - b = 1 e a^3 - b^3 = (x+5)-(x-5) = 10, segue que: a^2 + ab + b^2 = 10

Passo 4

Substituímos a = b + 1 em a^2 + ab + b^2 = 10:
(b+1)^2 + b(b+1) + b^2 = 10
Expandindo e simplificando obtemos:
3b^2 + 3b + 1 = 10
3b^2 + 3b - 9 = 0
b^2 + b - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
b = -1 pm raiz1 + 122 = -1 pm raiz132
Então
a = b + 1 = 1 pm raiz132

Passo 5

Para cada par (a,b) calculamos x via x = a^3 - 5 (ou x = b^3 + 5), e encontramos:
Para a = tfrac1+raiz132 vem x = 2raiz13.
Para a = tfrac1-raiz132 vem x = -2raiz13.

Resposta

x = \pm 2\sqrt{13}

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