12 fios de cobre de comprimento l e diâmetro d=1,71 mm são ligados em paralelo para formar um cabo. Qual deve ser o diâmetro D, em mm , de um único fio de cobre de mesmo comprimento l para que sua resistência seja a mesma do cabo?

Passo 1

O enunciado dá doze fios de cobre, cada um com comprimento l e diâmetro d=1,71 mm, ligados em paralelo, e pede o diâmetro D de um único fio de mesmo comprimento que tenha a mesma resistência equivalente. O conteúdo envolvido é resistência elétrica de condutor uniformes e associação em paralelo.

Passo 2

Cada fio individual tem resistência
R_1 = \rho\,\frac{l}{A_1},
onde \rho é a resistividade do cobre e
A_1 = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2
é a área da seção transversal de cada fio.

Passo 3

Doze fios idênticos em paralelo têm resistência equivalente
R_{\text{eq}} = \frac{R_1}{12} = \rho\,\frac{l}{12\,A_1}.

Passo 4

Queremos um único fio de área A_2 tal que
R_2 = \rho\,\frac{l}{A_2} \;=\; R_{\text{eq}} = \rho\,\frac{l}{12\,A_1}.
Cancelando \rho e l, obtemos
\frac{1}{A_2} = \frac{1}{12\,A_1} \quad\Longrightarrow\quad A_2 = 12\,A_1.

Passo 5

Como
A_2 = \pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 \quad\text{e}\quad A_1 = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2,
segue
\pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 = 12\,\pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad D^2 = 12\,d^2 \quad\Longrightarrow\quad D = d\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,d.

Passo 6

Substituindo d=1,71 mm e \sqrt{12}\approx3,464,
D \approx 1,71\times3,464 \approx 5,92\text{ mm}.

Resposta

O diâmetro do fio único deve ser aproximadamente 5,92 mm.

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