Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 94 pF , uma área das placas de 119 \mathrm{~cm}^{2} e um dielétrico com constante dielétrica \kappa=6,8 que preenche totalmente o espaço entre as placas. Para uma diferença de potencial de 60 , calcule o valor absoluto da densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico. Dê a resposta em \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas com capacitância \,C=94,pF, área das placas \,A=119,cm ^2 e um dielétrico de constante \kappa=6{,}8 preenchendo totalmente o espaço entre as placas. Aplica-se uma diferença de potencial \,V=60,V e queremos a densidade superficial de carga induzida no dielétrico, isto é, a carga ligada (bound charge) na superfície interna do dielétrico. Para resolver usamos:
  1. A relação geométrica e elétrica C=\kappa\varepsilon_0\frac{A}{d} para obter a espessura d.
  2. O campo no dielétrico E=V/d.
  3. A polarização P=\varepsilon_0(\kappa-1)\,E.
  4. A densidade de carga ligada na superfície é \sigma_{\text{ind}}=|P|.

Passo 2

Calcular a espessura d do dielétrico a partir de
C=\kappa\varepsilon_0\frac{A}{d}
Logo
d=\kappa\varepsilon_0\frac{A}{C}
Substituindo A=119\,\text{cm}^2=1,19\times10^{-2}\,\mathrm{m}^2, \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, \kappa=6{,}8 e C=94\times10^{-12}\,\mathrm{F}.

Passo 3

O campo uniforme no dielétrico é
E=\frac{V}{d}=\frac{V\,C}{\kappa\varepsilon_0\,A}
pois d=\kappa\varepsilon_0 A/C.

Passo 4

A polarização no dielétrico vale
P=\varepsilon_0(\kappa-1)\,E =\varepsilon_0(\kappa-1)\,\frac{V\,C}{\kappa\varepsilon_0\,A} =\frac{(\kappa-1)\,C\,V}{\kappa\,A}
e a densidade de carga ligada na superfície é \sigma_{\text{ind}}=|P|. Logo
\sigma_{\text{ind}} =\frac{(\kappa-1)\,C\,V}{\kappa\,A}\,.

Passo 5

Substituindo números:
Q=C\,V=94\times10^{-12}\times60=5,64\times10^{-9}\,\mathrm{C},
\frac{\kappa-1}{\kappa}=\frac{6{,}8-1}{6{,}8}=0{,}85294,
A=1,19\times10^{-2}\,\mathrm{m}^2
\sigma_{\text{ind}} =\frac{0{,}85294\times5,64\times10^{-9}}{1,19\times10^{-2}} \approx4,04\times10^{-7}\,\mathrm{C/m}^2 =404\,\mathrm{nC/m}^2.

Resposta

A densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico é aproximadamente 404\,\mathrm{nC/m}^2.

Exercícios relacionados