P 12.6-3 Um sistema trifásico equilibrado é formado por uma fonte em \mathrm{Y} \operatorname{com} v_{\mathrm{a}}=5 \cos \left(2 t+30^{\circ}\right) ligada a uma carga em Y . Cada fase da carga é constituída por um resistor de 2 \Omega em série com um indutor de 4 H . As linhas de transmissão têm uma resistência de 2 \Omega. Determine a potência média total fornecida à carga.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Fonte trifásica em estrela (Y) com a tensão de fase v_a(t)=5\cos\bigl(2t+30^\circ\bigr).
  • Cada fase da carga em Y é um resistor em série com um indutor, com valores R_{\text{carga}}=2\\ \Omega e L=4\\ \text{H}.
  • Cada linha de transmissão tem resistência R_{\text{linha}}=2\\ \Omega por fase (colocada em série com a respectiva fase da carga).
  • Pergunta: determinar a potência média total fornecida à carga (ou seja, a potência ativa absorvida pela carga trifásica).
Informações numéricas extraídas do enunciado: \;V_{\text{pico}}=5\\ \text{V},\;\omega=2\\ \text{rad/s},\;R_{\text{carga}}=2\\ \Omega,\;L=4\\ \text{H},\;R_{\text{linha}}=2\\ \Omega.

Passo 2

Converter a tensão de fase da forma temporal para a representação fasorial RMS (porque usaremos impedâncias e potência média, que são mais simples em RMS).
  • Regra: a magnitude RMS de uma senoide é \;V_{\text{rms}}=V_{\text{pico}}/\sqrt{2}.
  • Portanto a fasor RMS da tensão de fase é
\underline{V}_{\text{ph}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\angle 30^\circ.
Explanação didática curta: usamos RMS porque a potência média calculada por P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi (ou por I_{\text{rms}}^2R) dá diretamente a potência ativa entregue aos elementos resistivos.

Passo 3

Calcular a reatância do indutor e as impedâncias por fase.
  • A frequência angular é \omega=2\\ \text{rad/s} (vem do argumento da cossenoide).
  • Reatância do indutor: \;X_L=\omega L=2\cdot 4=8\\ \Omega. Observação: reatância indutiva aparece como jX_L na impedância.
  • Impedância da carga por fase (resistor em série com indutor):
Z_{\text{carga}}=R_{\text{carga}}+jX_L=2+j8\\ \Omega.
  • Somando a resistência da linha (série) obtemos a impedância total por fase vista pela fonte:
Z_{\text{tot}}=R_{\text{linha}}+Z_{\text{carga}}=2+(2+j8)=4+j8\\ \Omega.
Explicação: impedâncias em série somam-se por componentes reais e imaginárias; a parte real dissipa potência (resistores), a parte imaginária armazena energia alternadamente (indutores/capacitores) e não consome potência média.

Passo 4

Calcular a corrente de fase RMS (phasor) e seu módulo ao quadrado (precisamos de |\underline{I}|^2 para potência em resistores).
  • Corrente de fase (fasor RMS):
\underline{I}=\frac{\underline{V}_{\text{ph}}}{Z_{\text{tot}}}.
  • Vamos usar módulos quadrados para evitar manipular ângulos: |\underline{I}|^2=\dfrac{|\underline{V}_{\text{ph}}|^2}{|Z_{\text{tot}}|^2}.
  • Calcular |\underline{V}_{\text{ph}}|^2:
|\underline{V}_{\text{ph}}|^2=\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{25}{2}.
  • Calcular |Z_{\text{tot}}|^2:
|Z_{\text{tot}}|^2=4^2+8^2=16+64=80.
  • Portanto
|\underline{I}|^2=\frac{25/2}{80}=\frac{25}{160}=\frac{5}{32}=0,15625.
(se preferir em módulo, |\underline{I}|=\sqrt{0,15625}\approx 0,3953\\ \text{A RMS}).

Passo 5

Calcular a potência ativa absorvida pela carga por fase e depois totalizar para as três fases.
  • A potência média absorvida por um resistor é P=I_{\text{rms}}^2R. O indutor não consome potência média (só armazena/retorna energia), então apenas R_{\text{carga}} entra no cálculo da potência da carga.
  • Potência por fase na carga (apenas no resistor da carga):
P_{\text{fase}}=|\underline{I}|^2\;R_{\text{carga}}=\frac{5}{32}\cdot 2=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}=0,3125\\ \text{W}.
  • Como o sistema é equilibrado, a potência total fornecida à carga trifásica é três vezes a potência por fase:
P_{\text{total}}=3\;P_{\text{fase}}=3\cdot\frac{5}{16}=\frac{15}{16}=0,9375\\ \text{W}.
Explicação: multiplicamos por 3 porque cada fase consome a mesma potência em um sistema equilibrado em estrela.

Resposta

\dfrac{15}{16}\\ \text{W}\approx 0,9375\\ \text{W}

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