3.12 Uma força F=F_{x} i+F_{y} j está aplicada em um ponto de coordenadas x e y. Deduza uma expressão para a distância d da linha de ação de F à origem O do sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: \mathbf{F}=F_x\,\mathbf{i}+F_y\,\mathbf{j} (componentes da força) aplicada num ponto de coordenadas (x,y).
A pergunta é: deduzir uma expressão para a distância d da linha de ação de \mathbf{F} até a origem O.
Passo 2
Vamos representar a posição do ponto de aplicação pela vetor posição \mathbf{r} medido a partir da origem:
\mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.
A definição útil para este problema é o momento (torque) de \mathbf{F} em relação à origem. Em duas dimensões esse momento é dado pelo produto vetorial (que fica ao longo de \mathbf{k}):
M_O = \mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Aqui M_O é um escalar (o componente em \mathbf{k}) que mede o “efeito rotacional” de \mathbf{F} em torno de O.
Passo 3
Vamos calcular explicitamente o produto vetorial. Usando \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j} e \mathbf{F}=F_x\,\mathbf{i}+F_y\,\mathbf{j},
Portanto, o valor escalar do momento (módulo com sinal) é
M_O = xF_y - yF_x.
Expliquei o determinante: é a forma padrão para calcular o produto vetorial em 3D; em 2D o resultado fica na direção \mathbf{k} e o escalar associado é xF_y-yF_x.]
Passo 4
Interpretando geometricamente: o módulo do momento também pode ser escrito como
|M_O| = r\,F\,\sin\varphi,
onde r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2}, F=|\mathbf{F}|=\sqrt{F_x^2+F_y^2} e \varphi é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Mas r\sin\varphi é justamente a distância perpendicular do ponto (x,y) à linha de ação da força, ou seja, é a distância d da linha de ação de \mathbf{F} até a origem. Assim obtemos a relação clássica do momento:
|M_O| = F\,d.
Aqui usamos a interpretação física: o momento em relação a um ponto é igual à força vezes a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto.
Passo 5
Da relação |M_O| = F\,d isolamos d:
d = \frac{|M_O|}{F}.
Substituindo M_O = xF_y - yF_x e F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}, obtemos a expressão desejada:
d = \frac{|xF_y - yF_x|}{\sqrt{F_x^2+F_y^2}}.
Repare que colocamos valor absoluto no numerador porque distância é sempre não negativa; o sinal de M_O só indica sentido do momento.
Passo 6
Pequeno check rápido (exemplo numérico para fixar): se (x,y)=(2,1) e (F_x,F_y)=(3,4), então M_O=2\cdot4-1\cdot3=8-3=5 e F=\sqrt{3^2+4^2}=5. Logo d=|5|/5=1. Serve para ver que a fórmula é direta de aplicar na prova.