3.67 Uma força e um binário atuam em uma placa quadrada de lado a=50 \mathrm{~cm}. Sabendo que P=200 \mathrm{~N}, Q=150 \mathrm{Ne} \alpha=50^{\circ}, substitua a força e o binário dados por uma única força aplicada em um ponto que fica: (a) na linha A B e (b) na linha A C. Em cada caso, determine a distância de A ao ponto de aplicação da força.

Passo 1

O enunciado pede que substituamos o sistema formado por uma força P aplicada em B e um binário (formado pelas forças horizontais indicadas na imagem) por uma única força equivalente aplicada em um ponto que esteja: (a) sobre a linha AB e (b) sobre a linha AC. Para cada caso devemos determinar a distância de A até o ponto de aplicação dessa força única. \n\nAs informações dadas (retirei os locais e sentidos das forças da figura):\n- Lado do quadrado: a=50\\ \text{cm}=0,5\\ \text{m}.\n- Força P=200\\ \text{N} aplicada em B, na direção que forma ângulo \alpha=50^\circ acima da horizontal (conforme a figura).\n- Há duas forças horizontais iguais em módulo Q=150\\ \text{N}: uma atuando em A e outra em C com sentido oposto (conforme a figura). Essas duas forças formam um binário (couple) de momento M=Q\cdot a.\n\nAs perguntas claras: (a) qual a distância x de A ao ponto sobre AB onde se aplica a única força equivalente? (b) qual a distância d de A ao ponto sobre AC onde se aplica a única força equivalente?

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas bidimensional: x para a direita e y para cima, com origem em A. Assim A=(0,0), B=(a,0) e C=(0,-a). Vamos reduzir o sistema original a um resultado padrão: uma força resultante \mathbf{R} e um momento livre (binário) M_{c}.\n\n1) Resultado das forças: as duas forças Q em A e -Q em C se cancelam como resultante (soma vetorial é zero), então a única força resultante do sistema é a própria P aplicada em B. Logo\n \mathbf{R}=\mathbf{P}.\n\n2) Momento (binário) criado pelas duas forças horizontais Q: duas forças iguais e opostas separadas por a formam um binário de módulo\n M_c = Q\cdot a.
Este binário é livre (pode ser aplicado em qualquer ponto) e tem sinal que corresponde à rotação mostrada na figura. Usaremos o sinal algébrico nas contas quando somarmos momentos.\n\n3) Momento da força P em relação a A: a força P em B=(a,0) tem componentes\n P_x = P\cos\alpha,\qquad P_y = P\sin\alpha.\nLembrete (fórmula usada): o momento escalar (componente em z) de uma força \mathbf{F}=(F_x,F_y) aplicada em r=(x,y) em relação à origem é\n M_z = xF_y - yF_x.
Aqui, como B=(a,0), o momento de P em relação a A é
M_{P/A} = a\cdot P_y - 0\cdot P_x = a\,P\sin\alpha.\n\n4) Momento total do sistema em relação a A: somamos o momento devido à força P e o binário M_c. Tomando como positivo o sentido anti-horário, obtemos\n M_{tot} = a\,P\sin\alpha - a\,Q = a\,(P\sin\alpha - Q).
(Explicação do sinal: P\sin\alpha tende a girar o corpo no sentido anti-horário em torno de A; o binário causado pelas forças Q tem sentido horário e entra com sinal negativo, daí a subtração.)\n\nCalculamos os termos numéricos que vamos precisar (usar sempre metros e newtons):\n a=0,5\\ \text{m},\qquad P=200\\ \text{N},\qquad Q=150\\ \text{N},\qquad \alpha=50^\circ.\n P\sin\alpha = 200\sin50^\circ \approx 200\cdot 0,7660444 \approx 153,2089\\ \text{N},\n P\cos\alpha = 200\cos50^\circ \approx 200\cdot 0,6427876 \approx 128,5575\\ \text{N},\n P\sin\alpha - Q \approx 153,2089 - 150 = 3,2089\\ \text{N}.\nPortanto\n M_{tot}=a\,(P\sin\alpha - Q)\approx 0,5\cdot 3,2089 \approx 1,60445\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Caso (a): ponto equivalente sobre a linha AB.\n\nQual a condição para substituir o sistema por uma única força \mathbf{R}=\mathbf{P} aplicada em um ponto x sobre AB?\nDevemos ter que a posição r=(x,0) satisfaz\n r\times \mathbf{R}=M_{tot}.\nNo plano isso dá escalar (componente z):\n x\cdot P_y - 0\cdot P_x = x\,P\sin\alpha = M_{tot}.\nIsolando x:\n x=\frac{M_{tot}}{P\sin\alpha}=\frac{a\,(P\sin\alpha-Q)}{P\sin\alpha}.\nSubstituindo os valores numéricos:\n x=0,5\cdot\frac{3,2089}{153,2089}\approx 0,5\cdot 0,02095\approx 0,010475\\ \text{m}.\nConvertendo para centímetros:\n x\approx 1,0475\\ \text{cm}\approx 1,05\\ \text{cm}.\nInterpretação: o ponto de aplicação da força equivalente fica sobre AB a \approx 1,05\\ \text{cm} à direita de A.

Passo 4

Caso (b): ponto equivalente sobre a linha AC.\n\nAgora queremos a posição r sobre AC. Um ponto a uma distância d de A ao longo de AC (para baixo) tem coordenadas r=(0,-d) com d\ge 0. A condição de equivalência é\n r\times \mathbf{R}=M_{tot}.\nCalculamos o momento escalar:\n r_x P_y - r_y P_x = 0\cdot P\sin\alpha - (-d)\cdot P\cos\alpha = d\,P\cos\alpha.\nLogo\n d\,P\cos\alpha = M_{tot}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{M_{tot}}{P\cos\alpha}=\frac{a\,(P\sin\alpha-Q)}{P\cos\alpha}.\nSubstituindo numericamente:\n d=0,5\cdot\frac{3,2089}{128,5575}\approx 0,5\cdot 0,02496\approx 0,01248\\ \text{m}.\nConvertendo para centímetros:\n d\approx 1,248\\ \text{cm}\approx 1,25\\ \text{cm}.\nInterpretação: o ponto de aplicação da força equivalente fica sobre AC a \approx 1,25\\ \text{cm} abaixo de A.

Resposta

x sobre AB: 1{,}05\\ \text{cm}\n d sobre AC: 1{,}25\\ \text{cm}

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