3.67 Uma força e um binário atuam em uma placa quadrada de lado
. Sabendo que
, substitua a força e o binário dados por uma única força aplicada em um ponto que fica: (a) na linha
e (b) na linha
. Em cada caso, determine a distância de
ao ponto de aplicação da força.
Passo 1
O enunciado pede que substituamos o sistema formado por uma força
aplicada em
e um binário (formado pelas forças horizontais indicadas na imagem) por uma única força equivalente aplicada em um ponto que esteja: (a) sobre a linha
e (b) sobre a linha
. Para cada caso devemos determinar a distância de
até o ponto de aplicação dessa força única. \n\nAs informações dadas (retirei os locais e sentidos das forças da figura):\n- Lado do quadrado:
.\n- Força
aplicada em
, na direção que forma ângulo
acima da horizontal (conforme a figura).\n- Há duas forças horizontais iguais em módulo
: uma atuando em
e outra em
com sentido oposto (conforme a figura). Essas duas forças formam um binário (couple) de momento
.\n\nAs perguntas claras: (a) qual a distância
de
ao ponto sobre
onde se aplica a única força equivalente? (b) qual a distância
de
ao ponto sobre
onde se aplica a única força equivalente?
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas bidimensional:
para a direita e
para cima, com origem em
. Assim
,
e
. Vamos reduzir o sistema original a um resultado padrão: uma força resultante
e um momento livre (binário)
.\n\n1) Resultado das forças: as duas forças
em
e
em
se cancelam como resultante (soma vetorial é zero), então a única força resultante do sistema é a própria
aplicada em
. Logo\n
\n\n2) Momento (binário) criado pelas duas forças horizontais
: duas forças iguais e opostas separadas por
formam um binário de módulo\n
Este binário é livre (pode ser aplicado em qualquer ponto) e tem sinal que corresponde à rotação mostrada na figura. Usaremos o sinal algébrico nas contas quando somarmos momentos.\n\n3) Momento da força
em relação a
: a força
em
tem componentes\n
\nLembrete (fórmula usada): o momento escalar (componente em
) de uma força
aplicada em
em relação à origem é\n
Aqui, como
, o momento de
em relação a
é
(Explicação do sinal:
tende a girar o corpo no sentido anti-horário em torno de
; o binário causado pelas forças
tem sentido horário e entra com sinal negativo, daí a subtração.)\n\nCalculamos os termos numéricos que vamos precisar (usar sempre metros e newtons):\n
\n
\n
\n
\nPortanto\n
Passo 3
Caso (a): ponto equivalente sobre a linha
.\n\nQual a condição para substituir o sistema por uma única força
aplicada em um ponto
sobre
?\nDevemos ter que a posição
satisfaz\n
\nNo plano isso dá escalar (componente
):\n
\nIsolando
:\n
\nSubstituindo os valores numéricos:\n
\nConvertendo para centímetros:\n
\nInterpretação: o ponto de aplicação da força equivalente fica sobre
a
à direita de
.
Passo 4
Caso (b): ponto equivalente sobre a linha
.\n\nAgora queremos a posição
sobre
. Um ponto a uma distância
de
ao longo de
(para baixo) tem coordenadas
com
. A condição de equivalência é\n
\nCalculamos o momento escalar:\n
\nLogo\n
\nSubstituindo numericamente:\n
\nConvertendo para centímetros:\n
\nInterpretação: o ponto de aplicação da força equivalente fica sobre
a
abaixo de
.