Um circuito RLC forçado em série é conectado a uma fonte de tensão alternada com tensão de pico de Delta V_{\max }=100 \mathrm{~V} e tal que: Delta V=Delta V_{\max } \operatorname{sen}(\omega t). Sabendo que o circuito possui um capacitor de C=100 \mathrm{nF}, um resistor de R=20,0 \Omega e um indutor de L=20,0 \mathrm{mH}, calcule:
A frequência de ressonância, em kHz, do circuito. Quando necessário, use PONTO no lugar da VÍRGULA.

Passo 1

O enunciado pede a frequência de ressonância do circuito RLC em série, expressa em kHz.
Informações dadas: \Delta V_{\max}=100\\ \text{V} (irrelevante para a frequência), C=100\\ \text{nF}, R=20.0\\ \Omega (irrelevante para a frequência), L=20.0\\ \text{mH}.
Pergunta clara: calcular a frequência de ressonância (valor numérico) em kHz.

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma didática): num circuito RLC em série a ressonância ocorre quando a reatância indutiva é igual à reatância capacitiva. A condição matemática leva à frequência angular de ressonância
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Aqui \omega_0 é a frequência angular em \text{rad/s}, L é a indutância em henry ( \text{H}) e C é a capacitância em farad ( \text{F}).

Passo 3

Queremos a frequência em hertz f_0 (e depois em kHz). A relação entre \omega_0 e f_0 é
f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Explicando: 2\pi converte radianos por segundo em ciclos por segundo (Hz). Portanto usaremos a fórmula acima para calcular f_0.

Passo 4

Converter os valores para unidades SI e calcular LC:
L=20.0\\ \text{mH}=20.0\times10^{-3}\\ \text{H},
C=100\\ \text{nF}=100\times10^{-9}\\ \text{F}.
Multiplicando:
LC=(20.0\times10^{-3})(100\times10^{-9})=2000\times10^{-12}=2{,}00\times10^{-9}.
Escrevendo em notação científica (SI):
LC=2{,}00\times10^{-9}\\ \text{H}\cdot\text{F}.

Passo 5

Calcular \sqrt{LC}. A unidade de \sqrt{LC} é segundo ( \text{s}):
\sqrt{LC}=\sqrt{2{,}00\times10^{-9}}=\sqrt{2{,}00}\times10^{-4{,}5}\approx1{,}41421356\times3{,}16227766\times10^{-5}.
Fazendo a conta (apenas reorganizando para entender o procedimento):
\sqrt{LC}\approx4{,}47213595\times10^{-5}\\ \text{s}\approx4{.}4721\times10^{-5}\\ \text{s}.
(Explicação curta: \sqrt{2{,}00}\approx1{.}4142 e \sqrt{10^{-9}}=10^{-4{.}5}=3{.}1623\times10^{-5}.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de f_0:
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\cdot 4{.}4721\times10^{-5}}.
Calcular passo a passo:
2\pi\cdot 4{.}4721\times10^{-5}\approx6{.}2831853\times4{.}4721\times10^{-5}\approx2{.}8106\times10^{-4}.
Tomando o inverso:
f_0\approx\frac{1}{2{.}8106\times10^{-4}}\approx3558{.}9\\ \text{Hz}.
Converter para kHz dividindo por 1000:
f_0\approx3{.}5589\\ \text{kHz}.
Arredondando com base nos algarismos significativos dos dados ( L=20{.}0, C=100 → cerca de 3 algarismos significativos), obtemos
f_0\approx3{.}56\\ \text{kHz}.

Passo 7

Checagem rápida (intuição): aumentar L ou C aumenta \sqrt{LC} e reduz f_0. Valores obtidos (aprox. 3{.}56\\ \text{kHz}) estão na faixa esperada para indutância de dezenas de mH e capacitância de centenas de nF — isso faz sentido físico, então a conta está coerente. Força extra: usamos a fórmula padrão e unidades SI corretamente, e arredondamos de forma consistente. Força-se um sorriso: deu certo! 😉

Resposta

3.56\\ \text{kHz}

Exercícios relacionados