12 (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo \mathbf{V} da velocidade de propagação do som com a pressão \mathbf{P} e a massa específica \boldsymbol{\rho} ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ), em umgás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo \mathrm{v}^{\alpha}=\mathrm{C} \frac{\mathrm{P}^{\beta}}{\rho}, em que C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\mathrm { e }} \boldsymbol{\beta} são:
a) \alpha=1, \beta=2.
b) \alpha=1, \beta=1.
c) \alpha=2, \beta=1.
d) \alpha=2, \beta=2.
e) \alpha=3, \beta=2.

Passo 1

O enunciado dá a relação lembrada pelo estudante na forma
v^{\alpha} = C\,\frac{P^{\beta}}{\rho},
onde C é uma constante adimensional, e pede os expoentes \alpha e \beta. As informações relevantes fornecidas são:
\text{velocidade } v \text{ (módulo): unidades } \text{m/s},ó
\text{pressão } P \text{ : unidades de Pascal (Pa) = N/m}^2,ã
\text{massa específica } \rho \text{ : unidades } \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.í
Vamos usar apenas a exigência de consistência dimensional (as unidades do lado esquerdo devem coincidir com as do lado direito) para determinar \alpha e \beta.

Passo 2

Breve explicação sobre análise dimensional (aula rápida e prática).
A análise dimensional diz que numa igualdade física as potências diretas das unidades (massa, comprimento, tempo) devem coincidir em ambos os lados. Representamos as dimensões básicas por [M] para massa, [L] para comprimento e [T] para tempo. Exemplos:
\text{velocidade } v \Rightarrow [v] = [L][T]^{-1},
\text{pressão } P \Rightarrow [P] = \text{força}/\text{área} = \frac{[M][L][T]^{-2}}{[L]^2} = [M][L]^{-1}[T]^{-2},ãçá
\text{massa específica } \rho \Rightarrow [\rho] = \frac{[M]}{[L]^3} = [M][L]^{-3}.í
Sempre que eu escrever algo como [X], quero dizer “as dimensões de X”.

Passo 3

Calcular as dimensões do lado direito \dfrac{P^{\beta}}{\rho}.
Primeiro a potência de P:
[P^{\beta}] = \big([M][L]^{-1}[T]^{-2}\big)^{\beta} = [M]^{\beta}[L]^{-\beta}[T]^{-2\beta}.
Agora dividir por \rho:
\left[\frac{P^{\beta}}{\rho}\right] = \frac{[M]^{\beta}[L]^{-\beta}[T]^{-2\beta}}{[M][L]^{-3}}.
Simplificando potências de [M], [L] e [T]:
\left[\frac{P^{\beta}}{\rho}\right] = [M]^{\beta-1}[L]^{-\beta+3}[T]^{-2\beta}.

Passo 4

Calcular as dimensões do lado esquerdo v^{\alpha}.
Sabemos que [v] = [L][T]^{-1}. Logo
[v^{\alpha}] = \big([L][T]^{-1}\big)^{\alpha} = [L]^{\alpha}[T]^{-\alpha}.

Passo 5

Impor igualdade dimensional entre os dois lados: [v^{\alpha}] = \left[\dfrac{P^{\beta}}{\rho}\right].
Isto significa que os expoentes de [M], [L] e [T] devem ser iguais de ambos os lados. Escrevendo as igualdades:
para [M]:
0 = \beta - 1,
para [L]:
\alpha = -\beta + 3,
para [T]:
-\alpha = -2\beta.
Agora resolvemos esse sistema passo a passo.

Passo 6

Resolver as equações obtidas.
Da equação de [M]: \beta - 1 = 0
\beta = 1.
Substituindo \beta=1 na equação de [L]:
\alpha = -1 + 3 = 2.
Verificação pela equação de [T]: com \beta=1 a equação pede -\alpha = -2\cdot 1, ou seja \alpha = 2, que concorda com o valor encontrado. Portanto os valores consistentes são \alpha=2 e \beta=1.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
Com \alpha=2 e \beta=1 a fórmula fica, até constante adimensional,
v^{2} \propto \frac{P}{\rho},
ou classicamente v=\sqrt{\dfrac{C'P}{\rho}} com C' adimensional — forma compatível com a ideia física de velocidade do som em um gás (a velocidade varia com a raiz da razão pressão/densidade). A checagem dimensional final também confirma que os expoentes estão corretos.

Resposta

c) \alpha=2, \beta=1.

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