12 (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo
da velocidade de propagação do som com a pressão
e a massa específica
(
), em umgás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo
, em que C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes
são:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a relação lembrada pelo estudante na forma
onde
é uma constante adimensional, e pede os expoentes
e
. As informações relevantes fornecidas são:
Vamos usar apenas a exigência de consistência dimensional (as unidades do lado esquerdo devem coincidir com as do lado direito) para determinar
e
.
Passo 2
Breve explicação sobre análise dimensional (aula rápida e prática).
A análise dimensional diz que numa igualdade física as potências diretas das unidades (massa, comprimento, tempo) devem coincidir em ambos os lados. Representamos as dimensões básicas por para massa,
para comprimento e
para tempo. Exemplos:
A análise dimensional diz que numa igualdade física as potências diretas das unidades (massa, comprimento, tempo) devem coincidir em ambos os lados. Representamos as dimensões básicas por
Sempre que eu escrever algo como
, quero dizer “as dimensões de
”.
Passo 3
Calcular as dimensões do lado direito
.
Primeiro a potência de :
Primeiro a potência de
Agora dividir por
:
Simplificando potências de
,
e
:
Passo 4
Calcular as dimensões do lado esquerdo
.
Sabemos que . Logo
Sabemos que
Passo 5
Impor igualdade dimensional entre os dois lados:
.
Isto significa que os expoentes de ,
e
devem ser iguais de ambos os lados. Escrevendo as igualdades:
para :
Isto significa que os expoentes de
para
para
:
para
:
Agora resolvemos esse sistema passo a passo.
Passo 6
Resolver as equações obtidas.
Da equação de :
dá
Da equação de
Substituindo
na equação de
:
Verificação pela equação de
: com
a equação pede
, ou seja
, que concorda com o valor encontrado. Portanto os valores consistentes são
e
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
Com e
a fórmula fica, até constante adimensional,
Com
ou classicamente
com
adimensional — forma compatível com a ideia física de velocidade do som em um gás (a velocidade varia com a raiz da razão pressão/densidade). A checagem dimensional final também confirma que os expoentes estão corretos.
Resposta
c)
.