5 (Unicamp-SP - mod.) Quando um recipiente aberto contendo um líquido é sujeito a vibrações, observa-se um movimento ondulatório na superficie do líquido. Para pequenos comprimentos de onda \lambda, a velocidade de propagação \mathbf{v} de uma onda na superfície livre do líquido está relacionada à tensão superficial \sigma, conforme a equação
v=\sqrt{\frac{2 \pi \sigma}{\rho \lambda}}
em que \boldsymbol{\rho} é a densidade do líquido. Esta equação pode ser utilizada para determinar a tensão superficial induzindo-se na superfície do líquido um movimento ondulatório com uma frequência f conhecida e medindo-se o comprimento de onda \boldsymbol{\lambda}.
Determine:
a) a equação dimensional da tensão superficial \sigma em relação à massa M , comprimento L e tempo T .
b) as unidades da tensão superficial \boldsymbol{\sigma} no Sistema Internacional de Unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre a velocidade de propagação de uma onda na superfície de um líquido e a tensão superficial:
v=\sqrt{\frac{2\pi\sigma}{\rho\lambda}}.
Perguntas a responder:
  • (a) Determinar a equação dimensional de \sigma em termos de massa M, comprimento L e tempo T.
  • (b) Determinar as unidades de \sigma no Sistema Internacional (SI).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • v é velocidade (unidade dimensional: comprimento por tempo).
  • \sigma é tensão superficial (dimensão a ser encontrada).
  • \rho é densidade do líquido (unidade dimensional: massa por volume).
  • \lambda é comprimento de onda (dimensão: comprimento).
  • Constantes numéricas como 2\pi são adimensionais e não afetam as dimensões.

Passo 2

Princípio que vamos usar: em qualquer equação física as dimensões do lado esquerdo e do lado direito devem coincidir. Representamos por [\cdot] a dimensão de uma grandeza.
Anotemos as dimensões conhecidas:
[v]=L\,T^{-1},
[\rho]=M\,L^{-3},
[\lambda]=L,
e [\sigma] é o que queremos achar.
Começamos aplicando dimensão à equação dada. Como 2\pi é adimensional, podemos escrever dimensionalmente:
[v]=\sqrt{\frac{[\sigma]}{[\rho][\lambda]}}.

Passo 3

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
[v]^2=\frac{[\sigma]}{[\rho][\lambda]}.
Isolando [\sigma],
[\sigma]=[v]^2\,[\rho]\,[\lambda].
Agora substituímos as dimensões já conhecidas:
[v]^2=(L\,T^{-1})^2=L^2\,T^{-2},
[\rho]=M\,L^{-3},
[\lambda]=L.

Passo 4

Multiplicamos as dimensões:
[\sigma]=\bigl(L^2\,T^{-2}\bigr)\cdot\bigl(M\,L^{-3}\bigr)\cdot\bigl(L\bigr).
Agrupando potências de L:
L^{2-3+1}=L^0=1.
Portanto sobra apenas
[\sigma]=M\,T^{-2}.
Verificação física intuitiva: tensão superficial pode ser entendida como força por unidade de comprimento. Força tem dimensão M\,L\,T^{-2}; dividindo por comprimento L M\,T^{-2}, consistente com o resultado.

Passo 5

Convertendo para unidades do SI: M\mapsto\mathrm{kg}, L\mapsto\mathrm{m}, T\mapsto\mathrm{s}. Assim a unidade de \sigma é
\mathrm{kg\;s^{-2}}.
Outra forma comum de escrever é \mathrm{N\;m^{-1}}, porque 1\\ \mathrm{N}=1\\ \mathrm{kg\;m\;s^{-2}}, então 1\\ \mathrm{N\;m^{-1}}=1\\ \mathrm{kg\;s^{-2}}.

Resposta

[ \sigma ] = M\,T^{-2}
\mathrm{kg\;s^{-2}} \;(\mathrm{N\;m^{-1}})

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