5 (Unicamp-SP - mod.) Quando um recipiente aberto contendo um líquido é sujeito a vibrações, observa-se um movimento ondulatório na superficie do líquido. Para pequenos comprimentos de onda
, a velocidade de propagação
de uma onda na superfície livre do líquido está relacionada à tensão superficial
, conforme a equação
em que
é a densidade do líquido. Esta equação pode ser utilizada para determinar a tensão superficial induzindo-se na superfície do líquido um movimento ondulatório com uma frequência f conhecida e medindo-se o comprimento de onda
.
Determine:
a) a equação dimensional da tensão superficial
em relação à massa M , comprimento L e tempo T .
b) as unidades da tensão superficial
no Sistema Internacional de Unidades.
Determine:
a) a equação dimensional da tensão superficial
b) as unidades da tensão superficial
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre a velocidade de propagação de uma onda na superfície de um líquido e a tensão superficial:
Perguntas a responder:
- (a) Determinar a equação dimensional de
em termos de massa , comprimento e tempo . - (b) Determinar as unidades de
no Sistema Internacional (SI).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é velocidade (unidade dimensional: comprimento por tempo). -
é tensão superficial (dimensão a ser encontrada). -
é densidade do líquido (unidade dimensional: massa por volume). -
é comprimento de onda (dimensão: comprimento). - Constantes numéricas como
são adimensionais e não afetam as dimensões.
Passo 2
Princípio que vamos usar: em qualquer equação física as dimensões do lado esquerdo e do lado direito devem coincidir. Representamos por
a dimensão de uma grandeza.
Anotemos as dimensões conhecidas:
e
é o que queremos achar.
Começamos aplicando dimensão à equação dada. Como
é adimensional, podemos escrever dimensionalmente:
Passo 3
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Isolando
,
Agora substituímos as dimensões já conhecidas:
Passo 4
Multiplicamos as dimensões:
Agrupando potências de
:
Portanto sobra apenas
Verificação física intuitiva: tensão superficial pode ser entendida como força por unidade de comprimento. Força tem dimensão
; dividindo por comprimento
dá
, consistente com o resultado.
Passo 5
Convertendo para unidades do SI:
,
,
. Assim a unidade de
é
Outra forma comum de escrever é
, porque
, então
.