Informações relevantes fornecidas (vou explicitar e fixar as definições que vou usar):
Tomamos como equação de energia (do Problema 4.1) a identidade termodinâmica para uma substância simples:
du = T\,ds - P\,dv,
onde u é energia interna por unidade de massa (ou por mol), T é a temperatura, s entropia por unidade de massa (ou por mol), P pressão e v volume específico (ou volume molar).
Observação: com essa escolha \kappa é (em geral) um número negativo porque (\partial v/\partial P)_T<0. Essa definição é coerente com a forma final pedida no enunciado; se alguém usar a definição \kappa_T=-\frac{1}{v}(\partial v/\partial P)_T (compressibilidade isoterma positiva), aparece um sinal menos na fórmula. Vou explicar quando isso for usado.
O objetivo: provar a igualdade pedida relacionando derivadas parciais de T em condições de entropia constante.
Passo 2
Primeira ferramenta: expressão diferencial da entropia em variáveis convenientes e duas relações de Maxwell simples.
A entropia s pode ser tratada como função de (T,v). Seu diferencial é
Expliquei: essa relação vem de P=-\left(\partial F/\partial v\right)_T e s=-\left(\partial F/\partial T\right)_v, daí as derivadas mistas iguais. É uma identidade muito usada e válida para qualquer fluido.
Explicação do que isso significa: pequena variação de v em processo isoentálpico provoca variação de T dada por essa expressão; c_v aparece porque mede quanto a entropia muda com T a v fixo, e (\partial P/\partial T)_v aparece por causa das propriedades termo-elásticas do fluido.
Passo 4
Cálculo de \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_{s}.
Agora trate s como função de (T,P). Em variáveis T,P,
Explicação rápida: essa é uma identidade pura de cálculo para funções implícitas; ela liga como P muda com T em v fixo ao comportamento de v como função de T e P.
Passo 6
Combinar os resultados dos passos anteriores para chegar à igualdade desejada.
Agora dividimos a expressão obtida para \left(\dfrac{\partial T}{\partial v}\right)_s pela expressão para \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_s ou reescrevemos diretamente: substituir \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} da expressão de \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_s na expressão anterior:
Mas \dfrac{T}{c_v}\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} é igual a \dfrac{c_p}{c_v} vezes \dfrac{T}{c_p}\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}. Ou seja,