Para um gás ideal, mostre que
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{u}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{u}=0
para um gás ideal. Informações dadas/implicadas no enunciado:
  • Estamos tratando de um gás ideal, que satisfaz a equação de estado molar (ou por unidade de massa) \;Pv=RT\; (aqui P é pressão, v é volume molar, T é temperatura e R é a constante dos gases).
  • A derivada parcial indicada é tomada à energia interna u constante.
  • Precisamos usar relações termodinâmicas para conectar u,T,P,v.

Passo 2

Vamos começar lembrando uma identidade termodinâmica fundamental (primeira e segunda leis combinadas em forma diferencial). A variação infinitesimal da energia interna u pode ser escrita como
du = T\,ds - P\,dv,
onde s é a entropia molar (ou por unidade de massa), T é temperatura e P é pressão. Explicando cada termo:
  • du é a variação da energia interna.
  • T\,ds representa a energia trocada reversivelmente por calor (temperatura vezes variação de entropia).
  • P\,dv é o trabalho de expansão reversível (pressão vezes variação de volume).
    Essa fórmula é válida para sistemas simples (um componente, trabalho PdV apenas).

Passo 3

Queremos expressar du em termos de variações de T e v. Para isso, escrevemos a entropia s como função de T e v e expandimos ds:
ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} dT + \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} dv.
Substituindo em du:
du = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} dT + \left[T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} - P\right] dv.
Agora explico dois pontos importantes usados aqui:
  • A capacidade calorífica molar a volume constante é definida por
c_{v} \equiv \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v}.
Também, por relações termodinâmicas, T(\partial s/\partial T)_{v}=c_v, pois T\,(\partial s/\partial T)_v = (\partial u/\partial T)_v.
  • A derivada mista da entropia satisfaz uma relação de Maxwell que vem da função de Helmholtz livre F(T,v): dF = -s\,dT - P\,dv. Dessa igualdade segue a igualdade das derivadas cruzadas:
\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}.
Substituindo essas identidades em du obtemos a forma conhecida
du = c_{v}\,dT + \Bigl[T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v} - P\Bigr] dv.
Desse desenvolvimento podemos identificar
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v} - P.

Passo 4

Agora usamos a condição de gás ideal. Para o gás ideal vale a equação de estado molar
P v = R T.
Para derivar \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} com v mantido constante, tratamos P como função de T e v; diferencialmente,
P = \frac{R T}{v} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} = \frac{R}{v}.
Substituímos isso na expressão de \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T}:
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = T\cdot\frac{R}{v} - P.
Mas, usando novamente P=\dfrac{R T}{v}, o segundo termo é exatamente igual ao primeiro, logo
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = T\cdot\frac{R}{v} - \frac{R T}{v} = 0.
Portanto, para o gás ideal a energia interna não depende do volume quando a temperatura é fixa; em outras palavras, u é função apenas de T: u=u(T). Isso é a expressão matemática do fato físico de que, no modelo de gás ideal, a energia interna é energia cinética das partículas e depende só de T.

Passo 5

Com \left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)_{T}=0 já temos uma forma simples para o diferencial total de u:
du = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} dT + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} dv = c_{v}\,dT + 0\cdot dv = c_{v}\,dT.
Agora imponha a condição do enunciado: energia interna constante, isto é du=0. Como c_{v} para um gás ideal é (em regra) não nulo, da igualdade 0 = c_{v}\,dT segue
dT=0.
Isso significa que, ao manter u constante, a temperatura também fica constante — a temperatura não muda quando variamos a pressão mantendo u fixo.

Passo 6

Finalmente, a definição da derivada parcial que queremos é a variação de T quando P varia, com u mantido constante:
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{u} = 0,
porque para superfícies de u= const temos T= const (obtido no passo anterior). Em palavras: para um gás ideal, fixar a energia interna fixa a temperatura, portanto variar a pressão não altera T quando u é mantido.

Resposta

0

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