Para um gás ideal, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para um gás ideal. Informações dadas/implicadas no enunciado:
- Estamos tratando de um gás ideal, que satisfaz a equação de estado molar (ou por unidade de massa)
(aqui é pressão, é volume molar, é temperatura e é a constante dos gases). - A derivada parcial indicada é tomada à energia interna
constante. - Precisamos usar relações termodinâmicas para conectar
.
Passo 2
Vamos começar lembrando uma identidade termodinâmica fundamental (primeira e segunda leis combinadas em forma diferencial). A variação infinitesimal da energia interna
pode ser escrita como
onde
é a entropia molar (ou por unidade de massa),
é temperatura e
é pressão. Explicando cada termo:
-
é a variação da energia interna. -
representa a energia trocada reversivelmente por calor (temperatura vezes variação de entropia). -
é o trabalho de expansão reversível (pressão vezes variação de volume).
Essa fórmula é válida para sistemas simples (um componente, trabalhoapenas).
Passo 3
Queremos expressar
em termos de variações de
e
. Para isso, escrevemos a entropia
como função de
e
e expandimos
:
Substituindo em
:
Agora explico dois pontos importantes usados aqui:
- A capacidade calorífica molar a volume constante é definida por
Também, por relações termodinâmicas,
, pois
.
- A derivada mista da entropia satisfaz uma relação de Maxwell que vem da função de Helmholtz livre
: . Dessa igualdade segue a igualdade das derivadas cruzadas:
Substituindo essas identidades em
obtemos a forma conhecida
Desse desenvolvimento podemos identificar
Passo 4
Agora usamos a condição de gás ideal. Para o gás ideal vale a equação de estado molar
Para derivar
com
mantido constante, tratamos
como função de
e
; diferencialmente,
Substituímos isso na expressão de
:
Mas, usando novamente
, o segundo termo é exatamente igual ao primeiro, logo
Portanto, para o gás ideal a energia interna não depende do volume quando a temperatura é fixa; em outras palavras,
é função apenas de
:
. Isso é a expressão matemática do fato físico de que, no modelo de gás ideal, a energia interna é energia cinética das partículas e depende só de
.
Passo 5
Com
já temos uma forma simples para o diferencial total de
:
Agora imponha a condição do enunciado: energia interna constante, isto é
. Como
para um gás ideal é (em regra) não nulo, da igualdade
segue
Isso significa que, ao manter
constante, a temperatura também fica constante — a temperatura não muda quando variamos a pressão mantendo
fixo.
Passo 6
Finalmente, a definição da derivada parcial que queremos é a variação de
quando
varia, com
mantido constante:
porque para superfícies de
const temos
const (obtido no passo anterior). Em palavras: para um gás ideal, fixar a energia interna fixa a temperatura, portanto variar a pressão não altera
quando
é mantido.