Questão 4

Um balão esférico de raio R contendo um gás de densidade \rho_{g} é transportado por um caminhão e para evitar que o balão se choque com as paredes, ele é amarrado com um cabo ao assoalho do caminhão e então é preenchido com um líquido de densidade \rho_{L}, maior que a do balão. O cabo possui uma tensão limite T_{\text {max }}.
( 1,0 ponto) a. determine a tensão do cabo quando o caminhão está em repouso;
( 0,5 ponto) b. represente o que irá acontecer com o balão quando o caminhão acelera da esquerda pra direita;
( 1,5 ponto) c. determine a maior aceleração que o caminhão pode ter sem que o cabo arrebente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá alguns dados. Vou listar claramente o que se pede e as informações fornecidas:
  • Perguntas:
    (a) Determine a tensão do cabo quando o caminhão está em repouso.
    (b) Represente o que acontece com o balão quando o caminhão acelera da esquerda para a direita.
    (c) Determine a maior aceleração que o caminhão pode ter sem que o cabo arrebente (dado T_{\max}).
  • Dados fornecidos:
    • O balão é esférico de raio \,R.
    • O balão contém um gás com densidade \,\rho_{g}.
    • O balão fica imerso (submerso) num líquido de densidade \,\rho_{L}, com \rho_{L}>\rho_{g}. (Interpretei que o balão está dentro do líquido.)
    • O cabo que prende o balão ao assoalho suporta até uma tensão T_{\max}.
    • A aceleração da gravidade é \,g (assumimos conhecida).
    • Quando o caminhão acelera, a aceleração do referencial do caminhão é \,a para a direita.
Não vou resolver nada neste passo; apenas organizei o que é pedido e quais são os dados que vou usar.

Passo 2

Entendendo as forças atuantes e o princípio de Arquimedes (aula rápida e prática).
  • Volume do balão (esfera) — é importante porque tanto o peso do gás quanto o empuxo dependem do volume:
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Peso do conteúdo do balão (força gravitacional para baixo): é a massa do gás vezes g. A massa do gás é \,m_{g}=V\rho_{g}. Logo o peso é
\vec{P} = V\rho_{g}\,g\;\hat{y}_{\downarrow}.
Aqui \hat{y}_{\downarrow} indica a direção vertical para baixo.
  • Princípio de Arquimedes (explicação): o empuxo é a força para cima (oposta à direção do “campo efetivo de gravidade”) igual ao peso do fluido deslocado. Para nosso caso, o fluido é o líquido de densidade \rho_{L}, então o módulo do empuxo em repouso é
F_{E}=V\rho_{L}\,g.
Interpretação física simples: o fluido empurra o balão para fora com intensidade igual ao peso da porção de fluido que o balão ocupa.
  • Força resultante vertical sobre o balão (se não houver aceleração horizontal): empuxo para cima menos peso para baixo.
F_{\text{result, vertical}} = F_{E} - P = Vg(\rho_{L}-\rho_{g}).
Como \rho_{L}>\rho_{g}, isso é positivo: há tendência de subir. O cabo só precisa contrabalançar essa tendência.

Passo 3

(a) Tensão do cabo quando o caminhão está em repouso — desenvolvimento detalhado.
Em repouso não há acelerações horizontais. As forças verticais sobre o balão são: empuxo para cima F_{E}=V\rho_{L}g, peso para baixo P=V\rho_{g}g e a tensão \vec{T} no cabo (que, por como o cabo está preso ao assoalho, atua direcionando o balão para baixo, ou seja, fornece uma componente que equilibra a tendência de subir).
Equilíbrio vertical (somatória das forças = 0):
T + (-P) + (-F_{E}? )\\ \text{cuidado com sinais: melhor escrever como}\quad T = F_{E} - P.
Explicando a equação: o empuxo tende a empurrar para cima; o peso puxa para baixo; para o corpo ficar preso (em repouso), o cabo exerce uma força para baixo igual à diferença entre empuxo e peso. Portanto
T = Vg(\rho_{L}-\rho_{g}).
Substituindo V:
T = \frac{4}{3}\pi R^{3}\,g\;(\rho_{L}-\rho_{g}).
Essa é a expressão buscada em (a). Se quiser fazer essa conta sem calculadora na prova, deixe em forma simbólica assim — é a forma mais limpa.

Passo 4

(b) O que acontece quando o caminhão acelera da esquerda para a direita — explicação com pseudo-força e desenho mental.
  • Ideia física (não-intuitiva, mas simples): em um referencial acelerado (o interior do caminhão), aparece uma pseudo-força atuando sobre todos os corpos no sentido oposto à aceleração do referencial. Se o caminhão acelera para a direita com aceleração \,a, a pseudo-força age para a esquerda sobre massas.
  • Para o fluido (líquido) isto significa que as superfícies de mesma pressão inclinam-se: o “campo efetivo” que determina a direção do empuxo deixa de ser apenas g vertical; passa a ser o vetor soma de \,g (para baixo) com a pseudo-acceleracão -\vec{a} (para a esquerda). Em outras palavras, o campo efetivo é
\vec{g}_{\text{ef}} = g\,\hat{y}_{\downarrow} - a\,\hat{x}_{\leftarrow}.
  • O empuxo age na direção oposta a \vec{g}_{\text{ef}}. Como \vec{g}_{\text{ef}} aponta para baixo e para a esquerda, o empuxo aponta para cima e para a direita. Assim o balão, que é mais leve que o líquido, tenderá a mover-se para cima e para a direita (isto é, para a frente do caminhão, se “frente” é o lado direito do caminhão que está acelerando para a direita).
  • Resultado prático (representação): o balão desloca-se para a direita (a frente do caminhão) e o cabo ficará inclinado — o cabo forma com a vertical um ângulo \theta tal que
\tan\theta=\frac{a}{g},
isto é,
\theta=\arctan\!\left(\frac{a}{g}\right),
com a inclinação do cabo apontando para a direita (mesma direção do deslocamento horizontal do balão).
Pequena intuição: objetos mais leves que o fluido se movem “na frente” quando você acelera o conjunto; objetos mais pesados (por exemplo uma pedra) “vai para trás” (encostando na parede esquerda) porque a pseudo-força age sobre eles diretamente e o empuxo tem efeito diferente.

Passo 5

(c) Determinar a maior aceleração sem arrebentar o cabo — desenvolvimento passo a passo.
Vamos trabalhar no referencial não-inercial do caminhão, tratando o problema como estático com o campo efetivo \vec{g}_{\text{ef}}=g\,\hat{y}_{\downarrow}-a\,\hat{x}_{\leftarrow}.
  • Módulo do campo efetivo:
\lVert \vec{g}_{\text{ef}}\rVert = \sqrt{g^{2}+a^{2}}.
Explicação: componente vertical g, componente horizontal (magnitude) a, são perpendiculares, então o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados.
  • Empuxo em módulo na presença da aceleração (tratando o problema como estático com \vec{g}_{\text{ef}}): o empuxo tem magnitude igual à massa do líquido deslocado vezes \lVert \vec{g}_{\text{ef}}\rVert:
F_{E,\text{ef}} = V\rho_{L}\,\sqrt{g^{2}+a^{2}}.
  • Força “peso efetivo” do conteúdo do balão (também usando \vec{g}_{\text{ef}} para consistência no referencial não inercial) tem magnitude
P_{\text{ef}} = V\rho_{g}\,\sqrt{g^{2}+a^{2}}.
  • A diferença (empuxo efetivo menos peso efetivo) é a força que o cabo precisa suportar:
T = V(\rho_{L}-\rho_{g})\,\sqrt{g^{2}+a^{2}}.
Observação didática: é equivalente (e mais formal) fazer somatório vetorial das forças reais (empuxo real vertical, peso real vertical, pseudo-força para a esquerda) e projetar no sentido do cabo; o resultado para o módulo da tensão é exatamente essa expressão — é mais compacto tratar com \vec{g}_{\text{ef}}.
  • Agora imponha a condição de que o cabo não arrebente: T \le T_{\max}. Assim a maior aceleração admissível satisfaz
T_{\max} = V(\rho_{L}-\rho_{g})\,\sqrt{g^{2}+a_{\max}^{2}}.
Isolando \,a_{\max}:
  1. Primeiro divida ambos os lados por V(\rho_{L}-\rho_{g}):
\frac{T_{\max}}{V(\rho_{L}-\rho_{g})} = \sqrt{g^{2}+a_{\max}^{2}}.
  1. Eleve ao quadrado:
\left(\frac{T_{\max}}{V(\rho_{L}-\rho_{g})}\right)^{2} = g^{2}+a_{\max}^{2}.
  1. Finalmente, isole a_{\max}:
a_{\max} = \sqrt{\left(\frac{T_{\max}}{V(\rho_{L}-\rho_{g})}\right)^{2} - g^{2}}.
  • Observação de consistência (muito importante na prova): para que a raiz seja real (isto é, exista uma aceleração positiva que satisfaça a igualdade), é preciso que
\frac{T_{\max}}{V(\rho_{L}-\rho_{g})} \ge g,
ou equivalentemente
T_{\max} \ge V(\rho_{L}-\rho_{g})\,g.
Mas V(\rho_{L}-\rho_{g})\,g é exatamente a tensão que já calculamos no item (a). Se T_{\max} for menor que essa quantidade, o cabo já arrebenta em repouso. Portanto é bom checar esse limite antes de aplicar a fórmula acima.

Resposta

(a) T=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\,g\,(\rho_{L}-\rho_{g}).
(b) O balão desloca-se para a direita (para a frente do caminhão) e o cabo fica inclinado para a direita; o ângulo com a vertical é \theta=\arctan\!\big(\dfrac{a}{g}\big).
(c) a_{\max}=\sqrt{\left(\dfrac{T_{\max}}{\dfrac{4}{3}\pi R^{3}(\rho_{L}-\rho_{g})}\right)^{2}-g^{2}}, desde que T_{\max}\ge\dfrac{4}{3}\pi R^{3}(\rho_{L}-\rho_{g})\,g (caso contrário o cabo já arrebenta em repouso).

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