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As integrais sllo usadas para resolver problemas em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Uma aplicaçăo importante é calcular a àrea entre duas curvas. Dadas as funçöes f(x)=x^{2} e g(x)=4 x-x^{2}, qual é a área entre as duas curvas no intervalo [0,2] ?
a. 10 / 3.
b. 16 / 3.
c. 4 .
d. 3.
e. 8 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas f(x)=x^2 e g(x)=4x - x^2 no intervalo [0,2]. O conteúdo é área entre curvas, que se obtém integrando a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Primeiro identificamos qual curva está acima em [0,2]. Calculamos
g(x) - f(x) = (4x - x^2) - x^2 = 4x - 2x^2.
Para 0 \le x \le 2, 4x - 2x^2 \ge 0, logo g(x) é a curva superior e f(x) a inferior.

Passo 3

A área procurada é
A = \int_{0}^{2} \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int (4x - 2x^2)\,dx = \int 4x\,dx - \int 2x^2\,dx = 2x^2 - \frac{2}{3}x^3.
Avaliam-os de 0 a 2:
A = \Bigl(2x^2 - \tfrac{2}{3}x^3\Bigr)\Big|_{0}^{2} = \bigl(2\cdot4 - \tfrac{2}{3}\cdot8\bigr) - 0 = 8 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

e. 8/3

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