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Diversas técnicas de integração podem ser aplicadas para resolver integrais indefinidas. A escolha da técnica adequada depende da forma da função a ser integrada e das relações matemáticas existentes entre suas partes. Dadas as seguintes integrais, qual é mais adequada para ser resolvida utilizando a técnica de integração por substituição? \qquad
a. \quad \int\left(\frac{x^{2}}{x^{3}+1}\right) d x.
b. \quad \int\left(e^{(x)} \sin (x)\right) d x.
c. \quad \int\left(x^{2}+4 x\right) d x.
d. \quad \int\left((2 x+1)^{2}\right) d x.
e. \quad \int\left(x^{3}-3 x^{2}\right) d x.
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado apresenta cinco integrais indefinidas e pergunta qual delas é mais adequada para ser resolvida pela técnica de integração por substituição. O conteúdo aqui é métodos de integração, em especial reconhecer quando a parte de baixo de uma fração ou o “interior” de uma função possui derivada na parte de cima, sugerindo substituição.

Passo 2

A ideia central da substituição é identificar uma expressão u = g(x) tal que sua derivada du apareça (até constante) multiplicando em dx. Quando isso acontece, trocamos todas as ocorrências de x por u e transformamos a integral original numa integral mais simples em u.

Passo 3

Na opção (a) temos
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx.
Se tomarmos
u = x^{3}+1, \quad du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}du,
toda a integral se converte em
\int \frac{1}{u}\,\frac{1}{3}du = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du,
que é imediata. Esse é o padrão clássico de substituição.

Passo 4

Nas demais opções:
– (b) \int e^{x}\sin x\,dx é produto de duas funções sem aquela relação direta de derivada, exigindo integração por partes.
– (c) \int(x^{2}+4x)\,dx e
– (d) \int(2x+1)^{2}\,dx e
– (e) \int(x^{3}-3x^{2})\,dx
são polinômios ou potências simples que se resolvem diretamente pela regra de potência ou, no caso de (d), expandindo o quadrado, sem precisar de substituição.

Passo 5

A única integral em que a parte de cima é proporcional à derivada exata da parte de baixo é a da opção (a), o que a torna ideal para integração por substituição.

Resposta

a) \displaystyle \int\frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx

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