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Diversas técnicas de integração podem ser aplicadas para resolver integrais indefinidas. A escolha da técnica adequada depende da forma da função a ser integrada e das relações matemáticas existentes entre suas partes. Dadas as seguintes integrais, qual é mais adequada para ser resolvida utilizando a técnica de integração por substituição?
a.
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b.
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c.
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d.
.
e.
.
Limpar minha escolha
Diversas técnicas de integração podem ser aplicadas para resolver integrais indefinidas. A escolha da técnica adequada depende da forma da função a ser integrada e das relações matemáticas existentes entre suas partes. Dadas as seguintes integrais, qual é mais adequada para ser resolvida utilizando a técnica de integração por substituição?
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco integrais indefinidas e pergunta qual delas é mais adequada para ser resolvida pela técnica de integração por substituição. O conteúdo aqui é métodos de integração, em especial reconhecer quando a parte de baixo de uma fração ou o “interior” de uma função possui derivada na parte de cima, sugerindo substituição.
Passo 2
A ideia central da substituição é identificar uma expressão
tal que sua derivada
apareça (até constante) multiplicando em
. Quando isso acontece, trocamos todas as ocorrências de
por
e transformamos a integral original numa integral mais simples em
.
Passo 3
Na opção (a) temos
Se tomarmos
toda a integral se converte em
que é imediata. Esse é o padrão clássico de substituição.
Passo 4
Nas demais opções:
– (b) é produto de duas funções sem aquela relação direta de derivada, exigindo integração por partes.
– (c) e
– (d) e
– (e)
são polinômios ou potências simples que se resolvem diretamente pela regra de potência ou, no caso de (d), expandindo o quadrado, sem precisar de substituição.
– (b)
– (c)
– (d)
– (e)
são polinômios ou potências simples que se resolvem diretamente pela regra de potência ou, no caso de (d), expandindo o quadrado, sem precisar de substituição.
Passo 5
A única integral em que a parte de cima é proporcional à derivada exata da parte de baixo é a da opção (a), o que a torna ideal para integração por substituição.
Resposta
a)