12,0 1. Leia as afirmações a seguir e decida se são verdadeiras ou falsas.
(a) Se uma função f(x, y) é diferenciável em um ponto \left(x_{0}, y_{0}\right), então ela é contínua nesse ponto.
(b) O domínio da função f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-4\right) é o conjunto de todos os pontos ( x, y ) no interior do círculo de raio 2 centrado na origem.
(c) Se z=f(x, y), em que x=x(t) e y=y(t), então a regra da cadeia afirma que \frac{d z}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}.
(d) O vetor gradiente \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) é sempre tangente à curva de nível de f que passa pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right).
(e) A derivada direcional de uma função f(x, y) na direção de um vetor unitário u em um ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) pode ser maior que a norma do vetor gradiente, \left\|\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\|.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se cada uma das afirmações (a) a (e) é verdadeira ou falsa. Lista das cinco afirmações exatamente como dadas:
(a) Se uma função f(x,y) é diferenciável em um ponto \left(x_{0},y_{0}\right), então ela é contínua nesse ponto.
(b) O domínio da função f(x,y)=\ln\left(x^{2}+y^{2}-4\right) é o conjunto de todos os pontos (x,y) no interior do círculo de raio 2 centrado na origem.
(c) Se z=f(x,y), em que x=x(t) e y=y(t), então a regra da cadeia afirma que \dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}.
(d) O vetor gradiente \nabla f\left(x_{0},y_{0}\right) é sempre tangente à curva de nível de f que passa por \left(x_{0},y_{0}\right).
(e) A derivada direcional de uma função f(x,y) na direção de um vetor unitário u em um ponto \left(x_{0},y_{0}\right) pode ser maior que a norma do vetor gradiente, \left\|\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)\right\|.
Informações relevantes dadas: as cinco proposições acima. Não foram dados pontos específicos nem funções adicionais. Meu objetivo é analisar cada afirmação, justificar com definições e teoremas e concluir verdadeiro ou falso.

Passo 2

Analisando a afirmação (a). Primeiro, definição e ideia principal: o que significa ser diferenciável em duas variáveis?
Definição (intuitiva e prática): dizer que f(x,y) é diferenciável em \left(x_{0},y_{0}\right) significa que existe uma aproximação linear de primeira ordem que descreve f perto desse ponto, isto é, existem números \dfrac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},y_{0}\right) e \dfrac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0},y_{0}\right) tais que, para pequenas variações \Delta x,\Delta y,
f\bigl(x_{0}+\Delta x,\;y_{0}+\Delta y\bigr) = f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr) + \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\Delta x + \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\Delta y + o\bigl(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\bigr).
Aqui o(\cdot) significa um resto que, dividido por \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}, tende a 0 quando (\Delta x,\Delta y)\to(0,0). Explicando em palavras: a diferença entre f e sua aproximação linear é muito menor que a distância ao ponto, para pontos próximos.

Passo 3

Por que diferenciabilidade implica continuidade (continuação da (a))?
Use a expressão da aproximação linear: substituindo \Delta x= x-x_{0}, \Delta y= y-y_{0}, obtemos
f(x,y)-f(x_{0},y_{0}) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) + o\bigl(\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}\bigr).
Agora faça (x,y)\to(x_{0},y_{0}). Os dois primeiros termos à direita tendem a 0 porque são constantes multiplicadas por (x-x_{0}) e (y-y_{0}) que vão a 0. O termo o(\cdot) também tende a 0 pela definição. Logo a diferença f(x,y)-f(x_{0},y_{0}) tende a 0. Isso é exatamente a definição de continuidade em \left(x_{0},y_{0}\right). Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira. Pequeno exemplo para fixar: se f(x,y)=x^{2}+y^{2} é diferenciável em todo ponto, e de fato contínua.

Passo 4

Analisando a afirmação (b). Primeiro, lembrar o domínio de \ln(\cdot): a função logarítmica real \ln(u) está definida apenas para u>0. Portanto, para f(x,y)=\ln\left(x^{2}+y^{2}-4\right) precisamos que
x^{2}+y^{2}-4>0,
ou seja
x^{2}+y^{2}>4.
Interpretação geométrica: o conjunto dos pontos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}>4 é o exterior do círculo de raio 2 (pontos estritamente fora da circunferência de raio 2). O interior do círculo de raio 2 é o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}<4; a circunferência tem x^{2}+y^{2}=4. O enunciado afirma que o domínio é o interior do círculo — isso é exatamente o contrário: o domínio é o exterior. Portanto (b) é falsa. Exemplo numérico: o ponto (0,0) tem 0^{2}+0^{2}-4=-4, aí não podemos aplicar \ln, portanto (0,0) não pertence ao domínio; (3,0) tem 9-4=5>0, pertence.

Passo 5

Analisando a afirmação (c). Vou explicitar as hipóteses necessárias e depois justificar a fórmula. Hipóteses típicas da regra da cadeia em várias variáveis: f(x,y) deve ser diferenciável no ponto considerado e x(t),y(t) devem ser diferenciáveis em t. Então podemos considerar a composição z(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr). A regra da cadeia nos diz que a taxa de variação total de z em relação a t se obtém somando as contribuições das variações em x e em y, ponderadas pelas derivadas parciais. Em símbolos:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\frac{dy}{dt}.
Observações importantes: aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são avaliadas no ponto \bigl(x(t),y(t)\bigr). A demonstração curta usa a aproximação linear de f (diferenciabilidade): para pequena variação \Delta t,
\Delta z \approx f_x\bigl(x(t),y(t)\bigr)\Delta x + f_y\bigl(x(t),y(t)\bigr)\Delta y,
dividindo por \Delta t e passando ao limite chega-se à fórmula. Então a afirmação (c) está correta — verdadeira — desde que se entenda (como usual) que as parciais são avaliadas no ponto (x(t),y(t)) e que as funções são diferenciáveis. Exemplo simples: f(x,y)=x y,\; x(t)=t^{2},\; y(t)=\sin t. Calculando diretamente, z(t)=t^{2}\sin t e
\frac{dz}{dt}=2t\sin t + t^{2}\cos t,
pela regra da cadeia f_x= y,\; f_y=x e obtemos o mesmo:
\frac{dz}{dt}=y\cdot 2t + x\cdot \cos t = 2t\sin t + t^{2}\cos t.

Passo 6

Analisando a afirmação (d). Vamos primeiro lembrar o que é uma curva de nível: a curva de nível correspondente ao valor c é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
Se uma curva de nível é suave e podemos parametrizá-la por r(t)=(x(t),y(t)) com f(x(t),y(t))=c constante, então derivando em t obtemos, pela regra da cadeia,
0=\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \nabla f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot r'(t),
ou seja, o produto escalar entre \nabla f e o vetor tangente r'(t) é zero. Isso diz que \nabla f é ortogonal (normal), não tangente, à curva de nível. Portanto a afirmação que o gradiente é sempre tangente à curva de nível é falsa. Para fixar: exemplo com f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Curvas de nível são círculos x^{2}+y^{2}=c. O gradiente é \nabla f=(2x,2y), que aponta radialmente para fora (normal ao círculo), enquanto o vetor tangente ao círculo em (x,y) é perpendicular a (x,y). Logo gradiente ⟂ tangente. Conclusão: (d) é falsa.

Passo 7

Analisando a afirmação (e). Primeiro definição: a derivada direcional de f no ponto \left(x_{0},y_{0}\right) na direção de um vetor unitário u (denotado \mathcal{D}_{u}f) é
\mathcal{D}_{u}f(x_{0},y_{0}) = \nabla f(x_{0},y_{0})\cdot u.
Agora uma desigualdade fundamental: pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz, para dois vetores a e b vale
|a\cdot b| \le \|a\|\,\|b\|.
Aplicando com a=\nabla f(x_{0},y_{0}) e b=u, e lembrando que \|u\|=1, obtemos
\bigl|\mathcal{D}_{u}f(x_{0},y_{0})\bigr| = \bigl|\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot u\bigr| \le \bigl\|\nabla f(x_{0},y_{0})\bigr\|\cdot\|u\| = \bigl\|\nabla f(x_{0},y_{0})\bigr\|.
Isto mostra que o valor absoluto da derivada direcional não pode exceder a norma do gradiente. Em particular, a derivada direcional (mesmo sem módulo) não pode ser maior em valor absoluto que \|\nabla f\|. Portanto a afirmação que ela “pode ser maior” que \|\nabla f\| é falsa. Comentário útil: o máximo valor possível de \mathcal{D}_{u}f ocorre quando u aponta na direção de \nabla f, e aí
\mathcal{D}_{u}f_{\max}=\|\nabla f\|.
Quando u é perpendicular ao gradiente, a derivada direcional é 0. Exemplo: se \nabla f=(3,4) então \|\nabla f\|=5; qualquer derivada direcional tem valor entre -5 e 5.

Passo 8

Conclusões finais sobre cada afirmação, já justificadas anteriormente: (a) verdadeira; (b) falsa; (c) verdadeira (com a observação habitual de que as parciais são avaliadas em (x(t),y(t)) e que as funções são diferenciáveis); (d) falsa; (e) falsa.

Resposta

Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso

Exercícios relacionados