Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-1,-1),(-5,5) e (-2,1). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 18.2
(B) 19.2
(C) 20.2
(D) 21.2
(E) 22.2
(F) 23.2
(G) 24.2
(H) 25.2
Passo 1
O enunciado pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos (-1,-1),(-5,5) e (-2,1).
Informações fornecidas que vamos usar: os três pontos pertencem ao mesmo círculo e a forma expandida da equação do círculo é
Podemos escrever 406{,}25 como fração \frac{1625}{4}, então
r = \sqrt{406{,}25} = \frac{5}{2}\sqrt{65} \approx 20{,}155644\ldots
Comparando com as opções fornecidas, o valor mais próximo de r é 20{,}2 (opção (C)), pois a diferença é aproximadamente 0{,}0444, menor que com as outras opções.