Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-1,-1),(-5,5) e (-2,1). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 18.2
(B) 19.2
(C) 20.2
(D) 21.2
(E) 22.2
(F) 23.2
(G) 24.2
(H) 25.2

Passo 1

O enunciado pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos (-1,-1),(-5,5) e (-2,1).
Informações fornecidas que vamos usar: os três pontos pertencem ao mesmo círculo e a forma expandida da equação do círculo é
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
com as relações
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
O objetivo imediato é encontrar a,b,c que satisfaçam a equação para os três pontos; depois obter x_{0},y_{0},r a partir de a,b,c.

Passo 2

Substituímos cada ponto na equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c. Primeiro calculemos x^{2}+y^{2} para cada ponto:
Para (-1,-1): x^{2}+y^{2}=1+1=2.
Para (-5,5): x^{2}+y^{2}=25+25=50.
Para (-2,1): x^{2}+y^{2}=4+1=5.
Agora escrevemos as três equações (cada uma é linear em a,b,c):
para (-1,-1):
2 + a(-1) + b(-1) = c \quad\Longrightarrow\quad -a - b - c = -2.
para (-5,5):
50 + a(-5) + b(5) = c \quad\Longrightarrow\quad -5a +5b - c = -50.
para (-2,1):
5 + a(-2) + b(1) = c \quad\Longrightarrow\quad -2a + b - c = -5.
Multiplicando cada equação por -1 para ficar com coeficiente positivo de c, obtemos o sistema equivalente:
\begin{cases} a + b + c = 2,\\[4pt] 5a - 5b + c = 50,\\[4pt] 2a - b + c = 5. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver o sistema linear por eliminação. Subtraindo a primeira equação da terceira:
(2a - b + c) - (a + b + c) = 5 - 2 \quad\Longrightarrow\quad a - 2b = 3. \tag{1}
Subtraindo a primeira da segunda:
(5a - 5b + c) - (a + b + c) = 50 - 2 \quad\Longrightarrow\quad 4a - 6b = 48.
Dividindo essa última por 2\): \[2a - 3b = 24. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2):
\begin{cases} a - 2b = 3,\\[4pt] 2a - 3b = 24. \end{cases}
Multiplicando (1) por 2\]: \(2a - 4b = 6. Subtraindo (2) dessa:
(2a - 4b) - (2a - 3b) = 6 - 24 \quad\Longrightarrow\quad -b = -18 \quad\Longrightarrow\quad b = 18.
Substituindo b=18 em (1):
a - 2(18) = 3 \quad\Longrightarrow\quad a - 36 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = 39.
Agora usamos a primeira equação a + b + c = 2 para obter c:
39 + 18 + c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = 2 - 57 = -55.
Portanto obtivemos
a = 39,\qquad b = 18,\qquad c = -55.]

Passo 4

Agora usamos as relações entre a,b,c e o centro (x_{0},y_{0}):
a = -2x_{0}\quad\Longrightarrow\quad x_{0} = -\frac{a}{2} = -\frac{39}{2} = -19{,}5,
b = -2y_{0}\quad\Longrightarrow\quad y_{0} = -\frac{b}{2} = -\frac{18}{2} = -9.
Logo o centro do círculo é
(x_{0},y_{0}) = \left(-\frac{39}{2},\,-9\right) = (-19{,}5,\,-9).

Passo 5

Calculamos agora o raio usando c = r^{2} - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}, isto é
r^{2} = c + x_{0}^{2} + y_{0}^{2}.
Calculemos x_{0}^{2} e y_{0}^{2}:
x_{0}^{2} = \left(-\frac{39}{2}\right)^{2} = \frac{1521}{4} = 380{,}25,
y_{0}^{2} = (-9)^{2} = 81.
Somando e adicionando c=-55:
r^{2} = -55 + 380{,}25 + 81 = 406{,}25.
Podemos escrever 406{,}25 como fração \frac{1625}{4}, então
r = \sqrt{406{,}25} = \frac{5}{2}\sqrt{65} \approx 20{,}155644\ldots
Comparando com as opções fornecidas, o valor mais próximo de r é 20{,}2 (opção (C)), pois a diferença é aproximadamente 0{,}0444, menor que com as outras opções.

Resposta

(C) 20.2

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