Encontre a série de Fourier da função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 & \text { se } 0<x \leq 2 \\\\ 0 & \text { se }-2 \leq x<0\end{array}\right., de período p=2 L=4, e escreva os três primeiros elementos não-nulos da série. Mostre os detalhes do que fizer.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica f\) de período \(2L=4\) (logo \(L=2\)) definida por
\[f(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } 0<x\le 2,\\[4pt] 0 & \text{se } -2\le x<0, \end{cases}
e pede duas coisas: (i) obter a série de Fourier dessa função; (ii) escrever os três primeiros elementos não-nulos da série.
Informações relevantes que temos: o período é 4\], a função é definida em \([-2,2] numa época, e f(x) vale 2 no semi-intervalo (0,2] e 0 no semi-intervalo [-2,0). Não vamos resolver nada ainda, apenas anotar o que foi pedido e os dados.]
Passo 2
Fórmula geral que vamos usar (para funções de período 2L, com L=2 aqui). A série de Fourier de f na forma trigonométrica é
Explico as variáveis: L é metade do período (aqui L=2); n é o índice dos harmônicos (número natural); a_n e b_n são os coeficientes que determinam a contribuição de \cos e \sin de frequência n. Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \cos e \sin num intervalo simétrico, mas aqui vamos aplicá-las diretamente.
Passo 3
Calcular a_0. Usamos L=2 e que f(x) é zero em [-2,0) e igual a 2 em (0,2]. Então
Mas 2k=2\cdot\frac{n\pi}{2}=n\pi, e \sin(n\pi)=0 para todo n\in\mathbb{N}. Logo \sin(2k)=0 e portanto
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Comentário didático: isso significa que não há termos de cosseno na série — a função tem média diferente de zero (já capturada por a_0), mas todas as oscilações pares (cosenos) cancelam pelo formato do pulso.
Passo 5
Calcular b_n para n\ge1. Novamente usamos que f é não nulo só em (0,2]:
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n e k=\dfrac{n\pi}{2}, obtemos
b_n=-\frac{(-1)^n-1}{k}=\frac{1-(-1)^n}{k}.
Substituindo k=\dfrac{n\pi}{2} dá
b_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Agora observe o fator 1-(-1)^n:
Se n é par, (-1)^n=1 e 1-(-1)^n=0, logo b_n=0.
Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, logo para n ímpar
b_n=\frac{2}{n\pi}\cdot 2=\frac{4}{n\pi}.
Passo 6
Juntando os coeficientes: temos a_0=2\), \(a_n=0\) para todo \(n\ge1\), e
\[b_n=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{4}{n\pi} & \text{se } n\text{ é ímpar},\\[6pt] 0 & \text{se } n\text{ é par}. \end{cases}
Portanto a série de Fourier fica (substituindo L=2\] na forma geral):
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) =1+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).\]
Uma forma mais compacta, lembrando que apenas ímpares \(n=1,3,5,\dots aparecem, é
Agora escrevo explicitamente os três primeiros elementos não-nulos (além do termo constante 1 que vem de a_0/2). Os três primeiros termos senoidais correspondem a n=1,3,5:
Pequeno comentário motivador: essa série é típica de um pulso retangular (metade do período com amplitude 2 e metade com 0); tem média 1 e só harmônicos ímpares aparecem, com amplitudes decrescentes como 1/n, por isso a convergência é relativamente rápida para representar o pulso.