Encontre a série de Fourier da função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 & \text { se } 0<x \leq 2 \\\\ 0 & \text { se }-2 \leq x<0\end{array}\right., de período p=2 L=4, e escreva os três primeiros elementos não-nulos da série. Mostre os detalhes do que fizer.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica f\) de período \(2L=4\) (logo \(L=2\)) definida por \[f(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } 0<x\le 2,\\[4pt] 0 & \text{se } -2\le x<0, \end{cases}
e pede duas coisas: (i) obter a série de Fourier dessa função; (ii) escrever os três primeiros elementos não-nulos da série.
Informações relevantes que temos: o período é 4\], a função é definida em \([-2,2] numa época, e f(x) vale 2 no semi-intervalo (0,2] e 0 no semi-intervalo [-2,0). Não vamos resolver nada ainda, apenas anotar o que foi pedido e os dados.]

Passo 2

Fórmula geral que vamos usar (para funções de período 2L, com L=2 aqui). A série de Fourier de f na forma trigonométrica é
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right].
Aqui:
  • a_0 é o coeficiente médio; \;a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx.
  • Para n\ge1:
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Explico as variáveis: L é metade do período (aqui L=2); n é o índice dos harmônicos (número natural); a_n e b_n são os coeficientes que determinam a contribuição de \cos e \sin de frequência n. Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \cos e \sin num intervalo simétrico, mas aqui vamos aplicá-las diretamente.

Passo 3

Calcular a_0. Usamos L=2 e que f(x) é zero em [-2,0) e igual a 2 em (0,2]. Então
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{2} 2\,dx.
Agora computamos a integral:
\int_{0}^{2}2\,dx = 2\cdot(2-0)=4.
Logo
a_0=\frac{1}{2}\cdot 4 = 2.
Portanto o termo constante da série (metade de a_0) é \dfrac{a_0}{2}=1. Esse é o valor médio da função numa época.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usando que f(x)=0 em [-2,0) e f(x)=2 em (0,2]:
a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{2} 2\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\int_{0}^{2}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Para integrar, ponha k=\dfrac{n\pi}{2}. Então
\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx=\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{2}=\frac{\sin(2k)-\sin(0)}{k}=\frac{\sin(2k)}{k}.
Mas 2k=2\cdot\frac{n\pi}{2}=n\pi, e \sin(n\pi)=0 para todo n\in\mathbb{N}. Logo \sin(2k)=0 e portanto
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Comentário didático: isso significa que não há termos de cosseno na série — a função tem média diferente de zero (já capturada por a_0), mas todas as oscilações pares (cosenos) cancelam pelo formato do pulso.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1. Novamente usamos que f é não nulo só em (0,2]:
b_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{2} 2\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\int_{0}^{2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
De novo defina k=\dfrac{n\pi}{2}. Então
\int_{0}^{2}\sin(kx)\,dx=\left.-\frac{\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{2}=-\frac{\cos(2k)-\cos(0)}{k}=-\frac{\cos(n\pi)-1}{k}.
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n e k=\dfrac{n\pi}{2}, obtemos
b_n=-\frac{(-1)^n-1}{k}=\frac{1-(-1)^n}{k}.
Substituindo k=\dfrac{n\pi}{2}
b_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Agora observe o fator 1-(-1)^n:
  • Se n é par, (-1)^n=1 e 1-(-1)^n=0, logo b_n=0.
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, logo para n ímpar
b_n=\frac{2}{n\pi}\cdot 2=\frac{4}{n\pi}.

Passo 6

Juntando os coeficientes: temos a_0=2\), \(a_n=0\) para todo \(n\ge1\), e \[b_n=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{4}{n\pi} & \text{se } n\text{ é ímpar},\\[6pt] 0 & \text{se } n\text{ é par}. \end{cases}
Portanto a série de Fourier fica (substituindo L=2\] na forma geral): \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) =1+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).\] Uma forma mais compacta, lembrando que apenas ímpares \(n=1,3,5,\dots aparecem, é
f(x)=1+\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\right).]

Passo 7

Agora escrevo explicitamente os três primeiros elementos não-nulos (além do termo constante 1 que vem de a_0/2). Os três primeiros termos senoidais correspondem a n=1,3,5:
\frac{4}{1\pi}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right),\qquad \frac{4}{3\pi}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{2}\right),\qquad \frac{4}{5\pi}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{2}\right).
Ou agrupando,
\frac{4}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)+\frac{4}{3\pi}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{2}\right)+\frac{4}{5\pi}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{2}\right).
Pequeno comentário motivador: essa série é típica de um pulso retangular (metade do período com amplitude 2 e metade com 0); tem média 1 e só harmônicos ímpares aparecem, com amplitudes decrescentes como 1/n, por isso a convergência é relativamente rápida para representar o pulso.

Resposta

f(x)=1+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) =1+\frac{4}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)+\frac{4}{3\pi}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{2}\right)+\frac{4}{5\pi}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{2}\right)+\cdotsí
\text{Três primeiros elementos não-nulos: }\quad \frac{4}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right),\quad \frac{4}{3\pi}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{2}\right),\quad \frac{4}{5\pi}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{2}\right).êã

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