12 ln x=ln (2 x-1).

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação logarítmica tfrac12ln x = ln(2x-1). O conteúdo principal é propriedade de logaritmo e transformação em equação algébrica, e vamos precisar usar a regra aln b = ln(b^a) e cuidado com domínio dos logaritmos.

Passo 2

Aplicamos a propriedade aln b = ln(b^a) no lado esquerdo:
tfrac12ln x = lnl(x^1/2r) = lnl(raizxr)

Passo 3

Então a equação fica
lnl(raizxr) = ln(2x-1)

Passo 4

Como ln A = ln B implica A = B, obtemos
raizx = 2x - 1

Passo 5

Para resolver mais fácil, faça a mudança de variável y = raizx, com y>=0. Então x = y^2 e a equação vira
y = 2y^2 - 1

Passo 6

Reorganizando, temos a equação quadrática
2y^2 - y - 1 = 0

Passo 7

Use a fórmula de Bhaskara para encontrar y:
y = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34,

Passo 8

logo as soluções são y = 1 ou y = -tfrac12. Como y=raizx>=0, descartamos y=-tfrac12 e ficamos com y=1.
Voltando a x, temos raizx = 1 então x = 1.

Passo 9

Por fim, verificamos o domínio: precisamos de x>0 e 2x-1>0, ou seja, x>tfrac12. A solução x=1 satisfaz tudo.

Resposta

1

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