ln [(2 x+1)(x+2)]=2 ln (x+2).

Passo 1

Temos a equação ln[(2x+1)(x+2)] = 2ln(x+2). Isso envolve propriedades de logaritmos e solução de equações logarítmicas, então vamos precisar usar o domínio do ln e as leis de soma de logaritmos.

Passo 2

Para o ln ser definido, seus argumentos têm que ser positivos. Assim, exigimos
(2x+1)(x+2)>0
e
x+2>0.
Analisando x+2>0 x>-2. Para (2x+1)(x+2)>0 com x>-2, vemos que 2x+1>0 quando x> -tfrac12. Portanto o domínio é x> -tfrac12.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de soma de logaritmos:
ln[(2x+1)(x+2)] = ln(2x+1) + ln(x+2)
Então a equação fica:
ln(2x+1) + ln(x+2) = 2ln(x+2)

Passo 4

Subtraindo ln(x+2) de ambos os lados, obtemos:
ln(2x+1) = ln(x+2)

Passo 5

Como a função ln é injetiva, igualamos os argumentos:
2x + 1 = x + 2
Resolvendo essa equação simples:
2x - x = 2 - 1 Longrightarrow x = 1

Passo 6

Finalmente, verificamos no domínio: x=1 é maior que -tfrac12, então a solução é válida e confere na equação original.

Resposta

x = 1

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