Show that
lim x 1 ln xx-1=1
HINT: Note that ln xx-1=ln x-ln 1x-1 and interpret the limit as a derivative.

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o limite de ln xx - 1 quando x se aproxima de 1. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de limites e também envolve derivadas. Vamos usar essas ideias para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, dá uma olhada nessa expressão: ln xx - 1. A dica sugeriu a gente reescrever isso como ln x - ln 1x - 1. Sabia que ln 1 = 0? Então, nossa fração fica ln x - 0x - 1, que é igual a ln xx - 1. Isso já deixa mais claro como comparar com a definição de derivada.

Passo 3

Lembra da definição de derivada? Para uma função f(x), a derivada em um ponto a é:
f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a
Comparando com o que temos, parece que f(x) = ln x e a = 1. Ou seja, nosso limite limx to 1 ln xx - 1 é exatamente a definição da derivada de ln x em x = 1.

Passo 4

Agora, vamos achar a derivada de f(x) = ln x. Sabemos que:
f'(x) = 1x
Então, avaliando em x = 1:
f'(1) = 11 = 1

Resposta

Portanto, o limite é 1.

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