Show that
HINT: Note that
and interpret the limit as a derivative.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de limites e também envolve derivadas. Vamos usar essas ideias para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, dá uma olhada nessa expressão:
. A dica sugeriu a gente reescrever isso como
. Sabia que
? Então, nossa fração fica
, que é igual a
. Isso já deixa mais claro como comparar com a definição de derivada.
Passo 3
Lembra da definição de derivada? Para uma função
, a derivada em um ponto
é:
Comparando com o que temos, parece que
e
. Ou seja, nosso limite
é exatamente a definição da derivada de
em
.
Passo 4
Agora, vamos achar a derivada de
. Sabemos que:
Então, avaliando em
:
Resposta
Portanto, o limite é
.