2.12(M) Resolva: frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x}, x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x},\quad x>0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) válida para x>0. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está em termos de x e y e vale apenas para x>0.
  • O termo independente é \frac{1}{x}.
  • Não foram dadas condições iniciais; logo esperamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos reconhecer a estrutura da equação e preparar para um método sistemático. A equação está na forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
onde, pelo enunciado, P(x)=1 e Q(x)=\frac{1}{x}. Aqui P e Q são funções conhecidas de x. A ideia será usar um fator integrante \mu(x) para transformar a equação numa forma integrável diretamente.

Passo 3

Explicando o fator integrante de forma bem direta: para uma equação \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), escolhemos
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Esse \mu(x) tem a propriedade de que, multiplicando a equação original por \mu(x), o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu(x)y. Aqui cada símbolo significa:
  • y é a função incógnita de x;
  • P(x) é o coeficiente de y (aqui 1);
  • \mu(x) é uma função que facilita a integração.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso: como P(x)=1,
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Então vamos multiplicar toda a equação original por e^{x}.

Passo 5

Multiplicando por e^{x} obtemos
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y=\frac{e^{x}}{x}.
Agora vou mostrar por que o lado esquerdo é a derivada de e^{x}y. De fato, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y,
porque \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Então podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=\frac{e^{x}}{x}.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x. A integral do lado esquerdo é imediata:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = e^{x}y.
No lado direito precisamos integrar \frac{e^{x}}{x}:
e^{x}y=\int \frac{e^{x}}{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração (real), já que não há condição inicial.

Passo 7

Observação importante (e comum): a integral \int \frac{e^{x}}{x}\,dx não pode ser expressa em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, etc.). Então introduzimos uma função especial padrão para esse antiderivado: a função exponencial integral \operatorname{Ei}(x), definida (informalmente aqui) como uma função cuja derivada é \frac{e^{x}}{x}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(x)=\frac{e^{x}}{x}.
Para x>0 essa função é bem definida. Portanto podemos escrever
\int \frac{e^{x}}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+\text{constante}.
Já usamos uma constante geral C acima, então é consistente escrever
e^{x}y=\operatorname{Ei}(x)+C.

Passo 8

Isolando y obtemos a solução geral:
y(x)=e^{-x}\big(\operatorname{Ei}(x)+C\big),
válida para x>0. Aqui C é uma constante arbitrária real que será ajustada caso venha uma condição inicial.

Passo 9

Comentário prático (pra te ajudar na prova): se precisar de uma expressão para calcular numericamente \operatorname{Ei}(x) ou entender seu comportamento, existe a expansão em série para x>0:
\operatorname{Ei}(x)=\gamma+\ln x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k\,k!},
onde \gamma é a constante de Euler–Mascheroni. Essa série mostra que \operatorname{Ei}(x) cresce como \ln x perto de zero positivo e cresce muito mais rápido para grandes x. Mas para resolver a equação diferencial em si, a forma com \operatorname{Ei}(x) é a solução correta e compacta.

Resposta

y(x)=e^{-x}\big(\operatorname{Ei}(x)+C\big),\quad x>0.

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