Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
válida para
. Informações relevantes fornecidas:
- A equação está em termos de
e e vale apenas para . - O termo independente é
. - Não foram dadas condições iniciais; logo esperamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos reconhecer a estrutura da equação e preparar para um método sistemático. A equação está na forma
onde, pelo enunciado,
e
. Aqui
e
são funções conhecidas de
. A ideia será usar um fator integrante
para transformar a equação numa forma integrável diretamente.
Passo 3
Explicando o fator integrante de forma bem direta: para uma equação
, escolhemos
Esse
tem a propriedade de que, multiplicando a equação original por
, o lado esquerdo vira a derivada do produto
. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função incógnita de ; -
é o coeficiente de (aqui ); -
é uma função que facilita a integração.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso: como
,
Então vamos multiplicar toda a equação original por
.
Passo 5
Multiplicando por
obtemos
Agora vou mostrar por que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato, pela regra do produto,
porque
. Então podemos reescrever a equação como
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo é imediata:
No lado direito precisamos integrar
:
onde
é a constante de integração (real), já que não há condição inicial.
Passo 7
Observação importante (e comum): a integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, etc.). Então introduzimos uma função especial padrão para esse antiderivado: a função exponencial integral
, definida (informalmente aqui) como uma função cuja derivada é
. Ou seja,
Para
essa função é bem definida. Portanto podemos escrever
Já usamos uma constante geral
acima, então é consistente escrever
Passo 8
Isolando
obtemos a solução geral:
válida para
. Aqui
é uma constante arbitrária real que será ajustada caso venha uma condição inicial.
Passo 9
Comentário prático (pra te ajudar na prova): se precisar de uma expressão para calcular numericamente
ou entender seu comportamento, existe a expansão em série para
:
onde
é a constante de Euler–Mascheroni. Essa série mostra que
cresce como
perto de zero positivo e cresce muito mais rápido para grandes
. Mas para resolver a equação diferencial em si, a forma com
é a solução correta e compacta.