16 (M) Resolva: frac{d y}{d x}=y \cdot \tan x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y\cdot \tan x.
Informações dadas: a incógnita é a função y(x); o lado direito é o produto de y por \tan x. A solução geral que buscamos é uma expressão de y em função de x que satisfaça essa igualdade em intervalos onde tudo faça sentido (por exemplo onde \tan x esteja definida).

Passo 2

Vamos manipular a equação para separar as variáveis (todas as coisas envolvendo y de um lado e as que envolvem x do outro). Antes de dividir por y, devo checar uma solução especial possível: se y(x)=0 para todo x, então \frac{dy}{dx}=0 e o lado direito é 0\cdot\tan x=0. Logo y\equiv 0 é uma solução (a solução trivial). Agora assumimos y\neq 0 localmente e procedemos:
Dividindo ambos os lados por y (válido enquanto y\neq 0) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{y}\,dy=\tan x\,dx.
Isto é a etapa de “separação de variáveis”: o diferencial de y dividido por y fica só no lado de y e \tan x\,dx fica só no lado de x.

Passo 3

Integramos os dois lados. À esquerda usamos \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C_1. À direita precisamos integrar \tan x. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Faço a substituição u=\cos x, então du=-\sin x\,dx, logo
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int -\frac{1}{u}\,du=-\ln|u|+C_2=-\ln|\cos x|+C_2.
Juntando as integrais (podemos absorver as constantes numa só), obtemos
\ln|y|=-\ln|\cos x|+C,
onde C é uma constante arbitrária (igual a C_2-C_1).

Passo 4

Agora manipulo a igualdade com logaritmos para isolar y. Uso propriedades dos logaritmos: somando \ln|\cos x| aos dois lados,
\ln|y|+\ln|\cos x|=C.
Pela propriedade \ln a+\ln b=\ln(ab), isto é
\ln\big(|y|\;|\cos x|\big)=C.
Expoentei ambos os lados: |y|\;|\cos x|=e^{C}. Chamo A=e^{C}, uma constante positiva. Assim
|y|=\frac{A}{|\cos x|}.
Isto equivale a dizer que existe uma constante arbitrária C\in\mathbb{R} (podendo ser positiva, negativa ou zero) tal que
y=C\cdot\operatorname{sec} x,
onde usei \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Note que a escolha C=0 recupera a solução trivial y\equiv 0. Também é necessário lembrar que \operatorname{sec} x só está definida quando \cos x\neq 0, ou seja x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Em cada intervalo entre essas singularidades a fórmula acima descreve a solução geral.

Resposta

y=C\operatorname{sec} x,\;C\in\mathbb{R} (válido para x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}).

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