16 (M) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas: a incógnita é a função
; o lado direito é o produto de
por
. A solução geral que buscamos é uma expressão de
em função de
que satisfaça essa igualdade em intervalos onde tudo faça sentido (por exemplo onde
esteja definida).
Passo 2
Vamos manipular a equação para separar as variáveis (todas as coisas envolvendo
de um lado e as que envolvem
do outro). Antes de dividir por
, devo checar uma solução especial possível: se
para todo
, então
e o lado direito é
. Logo
é uma solução (a solução trivial). Agora assumimos
localmente e procedemos:
Dividindo ambos os lados por
(válido enquanto
) e multiplicando por
, obtemos
Isto é a etapa de “separação de variáveis”: o diferencial de
dividido por
fica só no lado de
e
fica só no lado de
.
Passo 3
Integramos os dois lados. À esquerda usamos
. À direita precisamos integrar
. Lembre que
. Faço a substituição
, então
, logo
Juntando as integrais (podemos absorver as constantes numa só), obtemos
onde
é uma constante arbitrária (igual a
).
Passo 4
Agora manipulo a igualdade com logaritmos para isolar
. Uso propriedades dos logaritmos: somando
aos dois lados,
Pela propriedade
, isto é
Expoentei ambos os lados:
. Chamo
, uma constante positiva. Assim
Isto equivale a dizer que existe uma constante arbitrária
(podendo ser positiva, negativa ou zero) tal que
onde usei
. Note que a escolha
recupera a solução trivial
. Também é necessário lembrar que
só está definida quando
, ou seja
,
. Em cada intervalo entre essas singularidades a fórmula acima descreve a solução geral.