Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu encontre a solução geral
.
Informações relevantes: a equação é linear de primeira ordem (coeficiente de é
) e o domínio é
. Não há condições iniciais, então procuramos a solução geral com uma constante arbitrária.
Informações relevantes: a equação é linear de primeira ordem (coeficiente de
Passo 2
Método escolhido: fator integrante. Vou explicar a ideia antes de aplicar.
Considere uma equação da forma
Considere uma equação da forma
O objetivo do fator integrante
é multiplicar a equação de modo que o lado esquerdo se transforme numa derivada exata de
, isto é,
Para que isso aconteça devemos ter
, cuja solução é
Depois de multiplicar por
obtemos
e então integramos ambos os lados para achar
e, por fim,
. Essa é a fórmula padrão — eu sei que parece muita teoria, mas na prática é direto, vou aplicar agora ao caso concreto.
Passo 3
Identifico
e
na equação dada:
Calculo o fator integrante:
Como o enunciado diz
,
(não preciso do valor absoluto porque
). Portanto
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Fazendo isso obtenho:
Agora explico porque o lado esquerdo é a derivada de
: pela regra do produto, para
e
,
Logo a equação fica
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo reduz-se a
(pois integral da derivada recupera a função) e o lado direito é uma integral polinomial simples:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolo
dividindo por
(lembrando que
então isso é legal):
Pronto — essa é a solução geral. Vou fazer uma checagem rápida para ter certeza: calcule
e então
ou seja, satisfaz a equação original.