2.6(M) Resolva: frac{d y}{d x}+\left(\frac{1}{x}\right) y=2, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+\left(\frac{1}{x}\right)y=2,\qquad x>0,
e pede que eu encontre a solução geral y(x).
Informações relevantes: a equação é linear de primeira ordem (coeficiente de y é \frac{1}{x}) e o domínio é x>0. Não há condições iniciais, então procuramos a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Método escolhido: fator integrante. Vou explicar a ideia antes de aplicar.
Considere uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
O objetivo do fator integrante \mu(x) é multiplicar a equação de modo que o lado esquerdo se transforme numa derivada exata de \mu(x)y, isto é,
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Para que isso aconteça devemos ter \mu'(x)=\mu(x)P(x), cuja solução é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Depois de multiplicar por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x),
e então integramos ambos os lados para achar \mu(x)y e, por fim, y. Essa é a fórmula padrão — eu sei que parece muita teoria, mas na prática é direto, vou aplicar agora ao caso concreto.

Passo 3

Identifico P(x) e Q(x) na equação dada:
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=2.
Calculo o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right).
Como o enunciado diz x>0, \int \frac{1}{x}\,dx=\ln x (não preciso do valor absoluto porque x>0). Portanto
\mu(x)=\exp(\ln x)=x.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=x. Fazendo isso obtenho:
x\frac{dy}{dx}+\;y=2x.
Agora explico porque o lado esquerdo é a derivada de x y: pela regra do produto, para u(x)=x e v(x)=y(x),
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=1\cdot y + x\frac{dy}{dx}=x\frac{dy}{dx}+y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=2x.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(xy\big)\,dx=\int 2x\,dx.
O lado esquerdo reduz-se a xy (pois integral da derivada recupera a função) e o lado direito é uma integral polinomial simples:
xy = \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^2}{2}+C = x^2 + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolo y dividindo por x (lembrando que x>0 então isso é legal):
y = \frac{x^2 + C}{x} = x + \frac{C}{x}.
Pronto — essa é a solução geral. Vou fazer uma checagem rápida para ter certeza: calcule y'
\frac{dy}{dx}=1-\frac{C}{x^2},
e então
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\left(1-\frac{C}{x^2}\right)+\frac{1}{x}\left(x+\frac{C}{x}\right) =1-\frac{C}{x^2}+1+\frac{C}{x^2}=2,
ou seja, satisfaz a equação original.

Resposta

\displaystyle y(x)=x+\frac{C}{x}, onde C é constante arbitrária e x>0.

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