19 (F) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação relaciona
com e . - Há a condição de domínio
, que garante bem definida (positiva). - Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (com constante arbitrária).
Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Vamos escolher um método: a equação é separável porque podemos escrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Em ODEs separáveis a ideia é rearranjar para ficar algo como
e integrar ambos os lados. Isso funciona bem quando a derivada pode ser expressa como produto de função de
por função de
.
Passo 3
Separamos variáveis. A equação é
Multiplicamos ambos os lados por
e por
para agrupar
com
e
com
:
Agora temos o formato separável pronto para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Primeiro explico a integral que aparece à esquerda. Se tivermos
é conveniente fazer a substituição
, daí
. Assim a integral fica
. A fórmula básica que usamos é
Aqui
, então
Voltando à variável original
, obtemos para o lado esquerdo
Do lado direito
. Colocando a constante de integração
obtemos:
Passo 5
Isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
dá
onde reescrevemos
como uma nova constante arbitrária
. Agora desritificamos a potência: como
é positivo para
, podemos elevar ambos os lados à potência
(função inversa) para obter
:
Finalmente isolamos
:
onde
é uma constante arbitrária determinada por condições iniciais, se houver.
Passo 6
Comentários sobre domínio e constantes (importante para a prova): como exigimos
, temos
, então a expressão dentro do parêntese da solução geral deve ser positiva:
no intervalo onde a solução for válida. Isso impõe restrições na constante
dependendo do intervalo de
considerado. Não existe solução constante
porque, ao substituir
na equação original, o lado direito fica indefinido (divisão por zero).