19 (F) Resolva: frac{d y}{d x}=\frac{x}{\sqrt{\{1+y\}}}(y>-1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{1+y}},\qquad (y>-1).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação relaciona \frac{dy}{dx} com x e y.
  • Há a condição de domínio y>-1, que garante \sqrt{1+y} bem definida (positiva).
  • Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (com constante arbitrária).
    Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vamos escolher um método: a equação é separável porque podemos escrever os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Em ODEs separáveis a ideia é rearranjar para ficar algo como g(y)\,dy = h(x)\,dx e integrar ambos os lados. Isso funciona bem quando a derivada pode ser expressa como produto de função de x por função de y.

Passo 3

Separamos variáveis. A equação é
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{1+y}}.
Multiplicamos ambos os lados por \sqrt{1+y} e por dx para agrupar y com dy e x com dx:
\sqrt{1+y}\,dy = x\,dx.
Agora temos o formato separável pronto para integrar.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Primeiro explico a integral que aparece à esquerda. Se tivermos \int \sqrt{1+y}\,dy é conveniente fazer a substituição u=1+y, daí du=dy. Assim a integral fica \int u^{1/2}\,du. A fórmula básica que usamos é
\int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}+C\quad\text{(quando \(p\neq-1\))}.
Aqui p=\tfrac12, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Voltando à variável original u=1+y, obtemos para o lado esquerdo
\int \sqrt{1+y}\,dy=\frac{2}{3}(1+y)^{3/2}.
Do lado direito \int x\,dx=\frac{x^2}{2}. Colocando a constante de integração C obtemos:
\frac{2}{3}(1+y)^{3/2}=\frac{x^2}{2}+C.

Passo 5

Isolamos (1+y)^{3/2}. Multiplicando ambos os lados por \tfrac{3}{2}
(1+y)^{3/2}=\frac{3}{4}x^2+C_1,
onde reescrevemos \tfrac{3}{2}C como uma nova constante arbitrária C_1. Agora desritificamos a potência: como (1+y)^{3/2} é positivo para y>-1, podemos elevar ambos os lados à potência \tfrac{2}{3} (função inversa) para obter 1+y:
1+y=\left(\frac{3}{4}x^2+C_1\right)^{2/3}.
Finalmente isolamos y:
y=-1+\left(\frac{3}{4}x^2+C_1\right)^{2/3},
onde C_1 é uma constante arbitrária determinada por condições iniciais, se houver.

Passo 6

Comentários sobre domínio e constantes (importante para a prova): como exigimos y>-1, temos (1+y)>0, então a expressão dentro do parêntese da solução geral deve ser positiva:
\frac{3}{4}x^2+C_1>0
no intervalo onde a solução for válida. Isso impõe restrições na constante C_1 dependendo do intervalo de x considerado. Não existe solução constante y=-1 porque, ao substituir y=-1 na equação original, o lado direito fica indefinido (divisão por zero).

Resposta

y=-1+\left(\dfrac{3}{4}x^2+C\right)^{2/3}, onde C é constante de integração (com \dfrac{3}{4}x^2+C>0 no domínio considerado).

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