11 O desvio para o vermelho. Uma fonte de luz se afasta de um observador com uma velocidade v_{\text {fonte }}, que é pequena comparada com c. (a) Mostre que o desvio fracionário no comprimento de onda medido é dado pela expressão aproximada
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_{\text {fonte }}}{c}
Esse fenômeno é conhecido como desvio para o vermelho, porque a luz visível é deslocada rumo ao vermelho. (b) Medidas espectroscópicas da luz a \lambda=397 \mathrm{~nm} vindo de uma galáxia na constelação Ursa Maior revelam um desvio para o vermelho de 20,0 \mathrm{~nm}. Qual é a velocidade de recessảo da galáxia?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar, para uma fonte de luz que se afasta do observador com velocidade pequena comparada a c, que a variação fracionária do comprimento de onda é aproximadamente
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_{\text{fonte}}}{c}.
  • (b) Usar essa expressão para calcular a velocidade de recessão de uma galáxia quando a luz emitida originalmente tem \lambda=397\\ \text{nm} e o desvio observado é \Delta\lambda=20{,}0\\ \text{nm}.
Informações dadas:
  • Comprimento de onda emitido: \lambda=397\\ \text{nm}.
  • Desvio observado: \Delta\lambda=20{,}0\\ \text{nm}.
  • Pressuposto: v_{\text{fonte}} é pequeno em comparação com c (portanto podemos usar aproximação de primeira ordem).
  • Velocidade da luz no vácuo: c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} (usarei este valor para o cálculo numérico).

Passo 2

Conceitos e relações básicas que vamos usar (explicando devagarzinho):
  • Frequência f e comprimento de onda \lambda de uma onda estão relacionados por
\lambda=\frac{c}{f},
onde c é a velocidade da luz. Aqui \lambda é o espaço entre cristas sucessivas da onda e f é quantas cristas passam por um ponto por segundo.
  • O tempo entre duas cristas emitidas é T=\dfrac{1}{f}. Explico: se a fonte emite f cristas por segundo, o intervalo entre duas emissões sucessivas é 1/f.
  • Quando a fonte se afasta, a segunda crista é emitida um pouco mais longe do observador do que a primeira; isso aumenta a separação entre cristas percebida pelo observador e, portanto, aumenta o comprimento de onda observado \lambda'.

Passo 3

Derivação geométrica simples (a ideia que costuma cair em prova, passo a passo):
  • Seja T=\dfrac{1}{f} o intervalo de tempo entre duas cristas emitidas pela fonte (medido na referência do observador, já que v\ll c podemos usar essa descrição clássica).
  • Durante o intervalo T a fonte afastando-se percorre uma distância v_{\text{fonte}}\,T em relação ao observador.
  • A primeira crista emitida viaja uma distância cT até que a segunda crista seja emitida; a segunda crista parte de um ponto mais afastado por v_{\text{fonte}}\,T. Assim, a separação entre as cristas no espaço (o comprimento de onda observado) é
\lambda' = cT + v_{\text{fonte}}\,T.
  • Como T=1/f e \lambda = cT, podemos reescrever:
\lambda' = \lambda + v_{\text{fonte}}\,\frac{1}{f} = \lambda + \lambda\frac{v_{\text{fonte}}}{c}.
  • Portanto a variação absoluta do comprimento de onda é
\Delta\lambda \equiv \lambda' - \lambda = \lambda\frac{v_{\text{fonte}}}{c}.
  • Dividindo ambos os lados por \lambda obtemos a variação fracionária:
\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{v_{\text{fonte}}}{c}.

Passo 4

Comentários sobre a aproximação e física por trás:
  • A dedução acima assume que v_{\text{fonte}} é muito menor que c, e por isso trata-se de uma expressão aproximada de primeira ordem em v_{\text{fonte}}/c. Para velocidades relativísticas a expressão correta é diferente (envolve o fator \sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}} com \beta=v/c), mas ao expandir esse fator para \beta\ll1 recupera-se a mesma relação linear \Delta\lambda/\lambda\approx v/c.
  • Intuição física: ao se afastar, a fonte “espalha” as cristas no espaço, aumentando \lambda; o aumento relativo é proporcional à fração da velocidade da fonte em relação a c.

Passo 5

Aplicação numérica (parte b). Vou calcular a velocidade a partir de
\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{v_{\text{fonte}}}{c} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{fonte}} \approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda}.
Substituindo os dados (tomei \Delta\lambda=20{,}0\\ \text{nm} e \lambda=397\\ \text{nm}; as unidades nm se cancelam na razão):
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{20{,}0}{397}\approx 0{,}05038.
Agora multiplicando por c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}:
v_{\text{fonte}}\approx 3{,}00\times10^{8}\cdot 0{,}05038 =1{,}511\times10^{7}\\ \text{m/s}.
É conveniente dar o valor também em km/s (mais usado em astronomia):
v_{\text{fonte}}\approx 1{,}511\times10^{7}\\ \text{m/s}=1{,}511\times10^{4}\\ \text{km/s}.
Arredondando de forma compatível com os algarismos dados (por exemplo, três algarismos significativos):
v_{\text{fonte}}\approx 1{,}51\times10^{7}\\ \text{m/s}\approx 1{,}51\times10^{4}\\ \text{km/s}.

Passo 6

Resumo e interpretação curta (ânimo!): a relação \Delta\lambda/\lambda\approx v/c é o que se chama desvio para o vermelho para velocidades pequenas; aplicando-a ao desvio de 20{,}0\\ \text{nm} em uma linha de 397\\ \text{nm} obtemos uma velocidade de recessão muito grande, cerca de 1{,}5\times10^{4}\\ \text{km/s} — típico de galáxias distantes.

Resposta

\displaystyle \frac{\Delta\lambda}{\lambda}\approx\frac{v_{\text{fonte}}}{c}
\displaystyle v_{\text{fonte}}\approx 1{,}51\times10^{7}\\ \text{m/s}\approx 1{,}51\times10^{4}\\ \text{km/s}

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