11 O desvio para o vermelho. Uma fonte de luz se afasta de um observador com uma velocidade
, que é pequena comparada com
. (a) Mostre que o desvio fracionário no comprimento de onda medido é dado pela expressão aproximada
Esse fenômeno é conhecido como desvio para o vermelho, porque a luz visível é deslocada rumo ao vermelho. (b) Medidas espectroscópicas da luz a
vindo de uma galáxia na constelação Ursa Maior revelam um desvio para o vermelho de
. Qual é a velocidade de recessảo da galáxia?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar, para uma fonte de luz que se afasta do observador com velocidade pequena comparada a
, que a variação fracionária do comprimento de onda é aproximadamente
- (b) Usar essa expressão para calcular a velocidade de recessão de uma galáxia quando a luz emitida originalmente tem
e o desvio observado é .
Informações dadas:
- Comprimento de onda emitido:
. - Desvio observado:
. - Pressuposto:
é pequeno em comparação com (portanto podemos usar aproximação de primeira ordem). - Velocidade da luz no vácuo:
(usarei este valor para o cálculo numérico).
Passo 2
Conceitos e relações básicas que vamos usar (explicando devagarzinho):
- Frequência
e comprimento de onda de uma onda estão relacionados por
onde
é a velocidade da luz. Aqui
é o espaço entre cristas sucessivas da onda e
é quantas cristas passam por um ponto por segundo.
- O tempo entre duas cristas emitidas é
. Explico: se a fonte emite cristas por segundo, o intervalo entre duas emissões sucessivas é . - Quando a fonte se afasta, a segunda crista é emitida um pouco mais longe do observador do que a primeira; isso aumenta a separação entre cristas percebida pelo observador e, portanto, aumenta o comprimento de onda observado
.
Passo 3
Derivação geométrica simples (a ideia que costuma cair em prova, passo a passo):
- Seja
o intervalo de tempo entre duas cristas emitidas pela fonte (medido na referência do observador, já que podemos usar essa descrição clássica). - Durante o intervalo
a fonte afastando-se percorre uma distância em relação ao observador. - A primeira crista emitida viaja uma distância
até que a segunda crista seja emitida; a segunda crista parte de um ponto mais afastado por . Assim, a separação entre as cristas no espaço (o comprimento de onda observado) é
- Como
e , podemos reescrever:
- Portanto a variação absoluta do comprimento de onda é
- Dividindo ambos os lados por
obtemos a variação fracionária:
Passo 4
Comentários sobre a aproximação e física por trás:
- A dedução acima assume que
é muito menor que , e por isso trata-se de uma expressão aproximada de primeira ordem em . Para velocidades relativísticas a expressão correta é diferente (envolve o fator com ), mas ao expandir esse fator para recupera-se a mesma relação linear . - Intuição física: ao se afastar, a fonte “espalha” as cristas no espaço, aumentando
; o aumento relativo é proporcional à fração da velocidade da fonte em relação a .
Passo 5
Aplicação numérica (parte b). Vou calcular a velocidade a partir de
Substituindo os dados (tomei
e
; as unidades nm se cancelam na razão):
Agora multiplicando por
:
É conveniente dar o valor também em km/s (mais usado em astronomia):
Arredondando de forma compatível com os algarismos dados (por exemplo, três algarismos significativos):
Passo 6
Resumo e interpretação curta (ânimo!): a relação
é o que se chama desvio para o vermelho para velocidades pequenas; aplicando-a ao desvio de
em uma linha de
obtemos uma velocidade de recessão muito grande, cerca de
— típico de galáxias distantes.