P 12.7-2 Um motor trifásico fornece uma potência de 20 hp quando é alimentado com uma tensão de linha de 480 V rms. O motor funciona com uma eficiência de 85 \% e um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine a amplitude e a fase da corrente de linha da fase A .
Sugestão: 1 \mathrm{hp}=745,7 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a amplitude e a fase da corrente de linha da fase A.
Dados fornecidos:
  • Potência mecânica entregue pelo motor: 20\\ \mathrm{hp}.
  • Tensão de linha (linha a linha) eficaz: V_{LL}=480\\ \mathrm{V_{rms}}.
  • Eficiência do motor: \eta=85\% (ou \eta=0{,}85).
  • Fator de potência: \mathrm{pf}=0{,}8 atrasado.
  • Conversão sugerida: 1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W}.
O que devemos retornar: a amplitude (valor de pico) da corrente da linha A e o ângulo de fase dessa corrente em relação à tensão da fase A.

Passo 2

Converter a potência de \mathrm{hp} para watts (potência útil mecânica entregue):
P_{out}=20\times 745{,}7=14914\\ \mathrm{W}.
Explicação breve: multiplicamos porque 20 unidades de 1\\ \mathrm{hp} correspondem a 20 vezes 745{,}7\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a potência elétrica de entrada ao motor usando a eficiência:
P_{in}=\frac{P_{out}}{\eta}=\frac{14914}{0{,}85}=17545{,}8823529\\ \mathrm{W}\approx 17545{,}88\\ \mathrm{W}.
Interpretação didática: eficiência \eta é a razão entre potência útil de saída e potência de entrada; para obter a energia que a fonte precisa fornecer dividimos a saída por \eta.

Passo 4

Relacionar potência ativa trifásica com corrente de linha (caso balanceado):
A fórmula para potência ativa em sistema trifásico balanceado usando tensão linha a linha e corrente de linha (valores eficazes) é
P_{in}=\sqrt{3}\;V_{LL}\;I_{L,\mathrm{rms}}\;\cos\varphi,
onde \cos\varphi é o fator de potência.
Dessa equação isolamos a corrente eficaz de linha:
I_{L,\mathrm{rms}}=\frac{P_{in}}{\sqrt{3}\;V_{LL}\;\mathrm{pf}}.
Breve explicação do \sqrt{3}: surge da relação entre tensões de fase e tensões linha em sistema trifásico balanceado (fator geométrico entre as componentes).

Passo 5

Substituir os valores conhecidos para obter a corrente eficaz de linha (fase A):
I_{A,\mathrm{rms}}=\frac{17545{,}8823529}{\sqrt{3}\times 480\times 0{,}8}.
Calcular o denominador passo a passo (aproximações numéricas usadas):
\sqrt{3}\approx 1{,}73205,\qquad \sqrt{3}\times 480\approx 831{,}384,\qquad 831{,}384\times 0{,}8\approx 665{,}107.
Portanto
I_{A,\mathrm{rms}}\approx\frac{17545{,}88}{665{,}11}\approx 26{,}38\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: em prova memorize a fórmula I_{L}=\dfrac{P}{\sqrt{3}\,V_{LL}\,\mathrm{pf}} para obter rápido a corrente eficaz de equipamentos trifásicos balanceados.

Passo 6

Calcular a amplitude (valor de pico) da corrente a partir do valor eficaz:
A relação entre pico e eficaz para uma senóide é I_{max}=\sqrt{2}\,I_{\mathrm{rms}}. Então
I_{A,\mathrm{max}}=\sqrt{2}\times 26{,}38\approx 1{,}41421\times 26{,}38\approx 37{,}32\\ \mathrm{A}.
Explicação: amplitude é o valor máximo instantâneo da corrente; em muitos enunciados “amplitude” significa exatamente esse pico.

Passo 7

Determinar o ângulo de fase entre corrente e tensão a partir do fator de potência:
\varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{pf})=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx 36{,}87^\circ.
Como o fator de potência é “atrasado” (lagging), a corrente atrasa a tensão, ou seja, a corrente tem ângulo negativo em relação à tensão de referência. Logo, a fase da corrente da fase A é
\theta_{I_A}=-36{,}87^\circ.
Forma fasorial (útil em prova): \tilde I_A=I_{A,\mathrm{rms}}\angle -36{,}87^\circ ou, em forma temporal com referência v_{AN}(t)=V_{max}\cos(\omega t),
i_A(t)=I_{A,\mathrm{max}}\cos\bigl(\omega t-36{,}87^\circ\bigr).

Passo 8

Recapitulando para a prova (dica prática):
  • Converta hp para W; divida por \eta para achar P_{in}.
  • Use I_{L}=\dfrac{P_{in}}{\sqrt{3}\,V_{LL}\,\mathrm{pf}} para achar I_{\mathrm{rms}}.
  • Multiplique por \sqrt{2} para obter o pico.
  • Ângulo da corrente = -\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}) se o pf for atrasado.
    Vai dar certo — respira e resolve com esses passos na prova!

Resposta

Amplitude (pico): I_{A,\mathrm{max}}=37{,}32\\ \mathrm{A}
Fase: \theta_{I_A}=-36{,}87^\circ

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