U(r)=ar^12-br^6
onde r é a distância entre os núcleos atômicos e a e b são constantes que podem ser determinadas espectroscopicamente. Uma vez que eles não formam fronteiras atômicas, os átomos dos gases nobres possuem funções energia potencial que podem ser bem modeladas por um potencial 6-12 e medidos com razoável precisão. Para o argônio, esses parâmetros são a=1,09 times 10^-7 e b=6,84 times 10^-5, onde r é medido em nm ( 1 nm=10^-9 m ) e U é medido em eV(1 eV= 1,6 times 10^-19 J ). (a) Utilizando um programa gerador de planilhas, faça um gráfico da função energia potencial interatômica para dois átomos de argônio em função da distância de separação para valores r entre 0,3 nm e 0,7 nm. A forma da função energia potencial segue o estabelecido por Feynman? Explique. (b) Qual é o valor mínimo da energia potencial (comparada com a situação em que os átomos são separados de uma grande distância)? Para que distância de separação ocorre essa condição? Esse ponto de mínimo refere-se a um equilíbrio estável ou instável? © A partir do gráfico ou da fórmula fornecida antes, estime a força de atração entre dois átomos de argônio separados por uma distância de 5 AA e a força de repulsão para uma separação de 3,5 AA. Certifique-se de que você realizou a conversão para as unidades do sistema MKS!

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o potencial de Lennard-Jones
U(r)=ar^12-br^6
para dois átomos de argônio, com eV·nm¹² e eV·nm⁶.
O que pede:
(a) Fazer o gráfico de entre 0,3 nm e 0,7 nm e comparar com o que o Feynman mostra.
(b) Achar o mínimo de : valor de e de nesse ponto e dizer se é equilíbrio estável ou não.
© Estimar a força em Å e em Å, convertendo tudo para o sistema MKS.
Para resolver, a gente vai usar:
  • Plotagem qualitativa (ou planilha) da função .
  • Derivada para achar o mínimo e depois para calcular a força.
  • Conversão de eV→J e de nm→m.

Passo 2

(a) Gráfico de :
  1. Se você colocar no Excel/Sheets os valores de de 0,30 nm até 0,70 nm e calcular
    ,
    vai ver que para pequeno é muito grande e positiva (repulsão forte),
    depois decai até um poço (valor negativo), e lá em volta pra zero.
  2. É exatamente o formato “parede de repulsão + poço atrativo” que o Feynman mostra no capítulo de gases nobres. Então sim, bate com o que o Feynman diz.

Passo 3

(b) Mínimo de energia potencial
  1. A condição de mínimo é dUdr =-12,ar^13+6,br^7 =0 ;Longrightarrow; br^7 =2,ar^13 ;Longrightarrow; rmin=l(2abr)^1/6 . Calculando: rmin =l(2cdot1,09times10^-76,84times10^-5r)^1/6 approx0,384;nm (=3,84;AA)
  2. Substituindo Umin =armin^12-brmin^6 =-b^24a approx -0,0107;eV ;(approx -1,71times10^-21,J) e :
  3. O valor mínimo de é
  4. Como a segunda derivada em é positiva, esse ponto é de equilíbrio estável.

Passo 4

© Força arm MKS =1,09times10^-7,eVcdot nm^12 times(1,6times10^-19,J/eV) times(10^-9,m/nm)^12 approx1,74times10^-134,J,m^12, .
Antes, convertemos para MKS:
brm MKS =6,84times10^-5,eVcdot nm^6 times1,6times10^-19times10^-54 approx1,09times10^-77,J,m^6
F(5AA) =12,arm MKSr1^13 -6,brm MKSr1^7 approx -6,7times10^-12, N (força atrativa)
Agora calculamos em F(3,5AA) =12,arm MKSr2^13 -6,brm MKSr2^7 approx +1,7times10^-10, N (força repulsiva) Å e
Å :
Para :
ç
Para :
ç

Resposta

r_min ≃ 0,384 nm (3,84 Å), U_min ≃ –0,0107 eV (equilíbrio estável).
F(5 Å) ≃ –6,7×10⁻¹² N (atração),
F(3,5 Å) ≃ +1,7×10⁻¹⁰ N (repulsão).

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