-45 Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10.0 cm e
. A carga da casca menor
a da casca maior é
. Determine o campo elétrico
em
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas cascas esféricas que compartilham o mesmo centro, uma com raio de 10,0 cm e outra com raio de 15,0 cm. A carga na casca menor é
e na casca maior é
. Precisa calcular o campo elétrico em um ponto que está a 12,0 cm do centro. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico criado por distribuições de carga simétricas como esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual das cascas contribui para o campo elétrico no ponto onde queremos calcular, que está a 12,0 cm do centro. Como 12,0 cm está fora da casca menor (10,0 cm) mas dentro da casca maior (15,0 cm), apenas a carga da casca menor afeta o campo nesse ponto. A casca maior está fora da nossa “superfície gaussiana” (a esfera de 12,0 cm), então sua carga não contribui para o campo aqui.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que é dada por:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área na superfície fechada (nossa esfera de 12,0 cm),
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a permissividade do vácuo (
).
Como o campo elétrico é o mesmo em todos os pontos da superfície esférica e é radialmente simétrico, podemos simplificar a integral:
Assim, o campo elétrico
é:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores na equação. A carga
que afeta o campo é a da casca menor, que é
. O raio
é 12,0 cm, mas precisamos converter para metros:
.
Primeiro, calculamos o denominador:
Calculando isso:
Agora, dividimos a carga pelo denominador:
Resposta
O campo elétrico em
é aproximadamente
.