-45 Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10.0 cm e 15,0 cm. A carga da casca menor 64,00 times 10^-8 C e a da casca maior é 2,00 times 10^-8 C. Determine o campo elétrico
em r=12.0 cm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas cascas esféricas que compartilham o mesmo centro, uma com raio de 10,0 cm e outra com raio de 15,0 cm. A carga na casca menor é 64,00 times 10^-8,C e na casca maior é 2,00 times 10^-8,C. Precisa calcular o campo elétrico em um ponto que está a 12,0 cm do centro. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico criado por distribuições de carga simétricas como esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual das cascas contribui para o campo elétrico no ponto onde queremos calcular, que está a 12,0 cm do centro. Como 12,0 cm está fora da casca menor (10,0 cm) mas dentro da casca maior (15,0 cm), apenas a carga da casca menor afeta o campo nesse ponto. A casca maior está fora da nossa “superfície gaussiana” (a esfera de 12,0 cm), então sua carga não contribui para o campo aqui.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que é dada por:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área na superfície fechada (nossa esfera de 12,0 cm), Qinterno é a carga total dentro dessa superfície, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2)).
Como o campo elétrico é o mesmo em todos os pontos da superfície esférica e é radialmente simétrico, podemos simplificar a integral:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Assim, o campo elétrico E é:
E = Q4pi varepsilon0 r^2

Passo 4

Vamos agora substituir os valores na equação. A carga Q que afeta o campo é a da casca menor, que é 64,00 times 10^-8,C. O raio r é 12,0 cm, mas precisamos converter para metros: 0,12,m.
E = 64,00 times 10^-8,C4pi times 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) times (0,12,m)^2
Primeiro, calculamos o denominador:
4pi times 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) times (0,12,m)^2 = 4pi times 8,85 times 10^-12 times 0,0144
Calculando isso:
4pi times 8,85 times 10^-12 times 0,0144 approx 1,603 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2)
Agora, dividimos a carga pelo denominador:
E = 64,00 times 10^-81,603 times 10^-12 approx 3,996 times 10^4,N/C

Resposta

O campo elétrico em r = 12,0,cm é aproximadamente 4,0 times 10^4,N/C.

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