*12.4. Uma partícula está se movendo ao longo de uma linha reta de maneira que sua posição é definida por s=(10 t^2+20) mm, em que t é dado em segundos. Determine (a) o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo de t=1 s até t=5 s, (b) a velocidade média da partícula durante esse intervalo e (c) a aceleração quando t=1 s.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo por
s(t)=10,t^2+20 mm,
e pede (a) o deslocamento entre t=1 s e t=5 s, (b) a velocidade média nesse intervalo e (c) a aceleração em t=1 s. Vamos usar conceitos de cinemática: deslocamento como variação de posição, velocidade média como razão entre deslocamento e intervalo de tempo, e aceleração como segunda derivada de s(t).

Passo 2

Para calcular o deslocamento, precisamos de s(1) e s(5).
Calcule s(1):
s(1)=10cdot1^2+20=10+20=30 mm
Calcule s(5):
s(5)=10cdot5^2+20=10cdot25+20=250+20=270 mm
Logo, o deslocamento é
De<a s = s(5)-s(1)=270-30=240 mm

Passo 3

A velocidade média é
bar v = De<a sDe<a t,
onde De<a t =5-1=4 s. Portanto,
bar v = 240 mm4 s=60 mm/s

Passo 4

Para achar a aceleração, derivamos duas vezes s(t):
Primeira derivada (velocidade):
v(t)=dsdt=20,t mm/s
Segunda derivada (aceleração):
a(t)=dvdt=20 mm/s^2
Em particular, em t=1 s,
a(1)=20 mm/s^2

Resposta

(a) 240 mm
(b) 60 mm/s
(c) 20 mm/s ^2

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