2.40** Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de x ) sujeito a uma força de arrasto f=-b v-c v^2. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de t. Explique a dependência temporal para t grande. (Que termo da força é dominante quando t é grande?)

Passo 1

O enunciado descreve um objeto que se move na direção positiva de x e sofre uma força de arrasto
f = -b,v - c,v^2
Precisamos escrever a segunda lei de Newton para o movimento unidimensional, que leva a uma EDO de primeira ordem separável em v(t), e então resolver essa EDO por separação de variáveis.

Passo 2

A segunda lei de Newton em x
m,dvdt = f = -b,v - c,v^2
Ou seja, a EDO que queremos resolver é
m,dvdt + b,v + c,v^2 = 0

Passo 3

Separamos as variáveis isolando em v de um lado e t do outro:
dvv,(b + c,v) = -dtm
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
1v,(b + c,v) = Av + Bb + c,v
Multiplicando em ambos os lados por v(b + c,v) obtemos
1 = A,(b + c,v) + B,v
Igualando coeficientes em v e constantes, vem
A,b = 1, A,c + B = 0 Longrightarrow A = 1b,; B = -cb

Passo 4

Agora integramos:
integral l(1b,v - cb,(b + c,v)r),dv = -integral dtm
Isso dá
1bln v - cb,cln(b + c,v) = -tm + C Longrightarrow 1bln!l(vb + c,vr) = -tm + C
Exponenciando,
vb + c,v = K,e^-tfracbmt,
onde K = e^bC será determinado pela condição inicial v(0)=v0.

Passo 5

Aplicando t=0 e v(0)=v0 em tfracvb+c,v=K, temos
K = v0b + c,v0
Voltando à expressão geral e isolando v(t),
v(t) = K,b,e^-tfracbmt1 - K,c,e^-tfracbmt = b,v0,e^-tfracbmt,b + c,v0,l(1 - e^-tfracbmtr),

Passo 6

O esboço de v(t) mostra uma queda monotônica de v0 até zero, com decaimento mais rápido inicialmente (quando v ainda é grande e o termo c,v^2 pesa) e depois mais lento, aproximando-se de zero suavemente.
Para ttoinfty, e^-tfracbmtto0 e
v(t)approx b,v0,e^-tfracbmtb + c,v0 sim e^-tfracbmt
Isso significa que, em tempos grandes, v fica pequeno e o termo quadrático c,v^2 é desprezível diante de b,v. Portanto o termo dominante é o de arrasto linear -b,v, e o decaimento torna-se essencialmente exponencial como numa força de amortecimento linear.

Resposta

m,dvdt = -b,v - c,v^2, v(t) = b,v0,e^-tfracbmt,b + c,v0,l(1 - e^-tfracbmtr),
Esboço: v(t) decresce de v0 para 0. Para t grande, domina o termo -b,v e v decai exponencialmente.

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