2.40** Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de
) sujeito a uma força de arrasto
. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para
por separação de variáveis. Esboce o comportamento de
como função de
. Explique a dependência temporal para
grande. (Que termo da força é dominante quando
é grande?)
Passo 1
O enunciado descreve um objeto que se move na direção positiva de
e sofre uma força de arrasto
Precisamos escrever a segunda lei de Newton para o movimento unidimensional, que leva a uma EDO de primeira ordem separável em
, e então resolver essa EDO por separação de variáveis.
Passo 2
A segunda lei de Newton em
dá
Ou seja, a EDO que queremos resolver é
Passo 3
Separamos as variáveis isolando em
de um lado e
do outro:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando em ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes em
e constantes, vem
Passo 4
Agora integramos:
Isso dá
Exponenciando,
onde
será determinado pela condição inicial
.
Passo 5
Aplicando
e
em
, temos
Voltando à expressão geral e isolando
,
Passo 6
O esboço de
mostra uma queda monotônica de
até zero, com decaimento mais rápido inicialmente (quando
ainda é grande e o termo
pesa) e depois mais lento, aproximando-se de zero suavemente.
Para
,
e
Isso significa que, em tempos grandes,
fica pequeno e o termo quadrático
é desprezível diante de
. Portanto o termo dominante é o de arrasto linear
, e o decaimento torna-se essencialmente exponencial como numa força de amortecimento linear.
Resposta
Esboço:
decresce de
para 0. Para
grande, domina o termo
e
decai exponencialmente.