12 Pontos] Considere f: R R definida por
f(x)=ll 2 x+a & se x <= 2 4-x^23-raizx^2+5 & se x>2
(a) |1 Ponto| Existe a in dotR de forma que f é contínua em 2? Caso exista, determine-o e justifique sun resposta. Caso nilio exista, justifique.
(b) II Pontoj Ê verdade que f é continua no intervalo (2,+infty) ? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem uma função $ f $ definida em partes e precisamos verificar duas coisas:
a) Se existe um valor de $ a $ que faz a função ser contínua em $ x = 2 $.
b) Se a função é contínua para todo $ x $ maior que 2.
Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a parte (a). A função $ f $ é definida de duas maneiras:
  • Para $ x \leq 2 $, $ f(x) = 2x + a $.
  • Para $ x > 2 $, $ f(x) = \frac{4 - x^2}{3 - \sqrt{x^2 + 5}} $.
Queremos que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2) deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2), e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 2 $.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (2x + a) = 2 cdot 2 + a = 4 + a
Agora, o limite pela direita:
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ 4 - x^23 - raizx^2 + 5
Substituindo $ x = 2 $ diretamente, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Então, vamos usar a regra de L’Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador:
x = 2

Passo 4

Para a função ser contínua em $ x = 2 $, os limites devem ser iguais:
x = 2
Então, existe sim um valor de $ a $ que torna a função contínua em 2, e esse valor é 2.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber se a função é contínua no intervalo $ (2, +\infty) $. Observando a definição da função para $ x > 2 $:
(2, +infty)
Para que a função seja contínua, o denominador não pode ser zero. Vamos verificar se $ 3 - \sqrt{x^2 + 5} = 0 $:
x > 2
Como estamos considerando $ x > 2 $, não há valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero. Além disso, todas as operações envolvidas (raízes, polinômios, divisões com denominador não nulo) são contínuas nesse intervalo. Portanto, a função $ f $ é contínua para todo $ x > 2 $.

Resposta

a) Sim, existe $ a = 2 $ que torna $ f $ contínua em 2.
b) Sim, $ f $ é contínua no intervalo $ (2, +\infty) $.

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