12 Pontos] Considere
definida por
(a) |1 Ponto| Existe
de forma que
é contínua em 2? Caso exista, determine-o e justifique sun resposta. Caso nilio exista, justifique.
(b) II Pontoj Ê verdade que
é continua no intervalo
? Justifique
(b) II Pontoj Ê verdade que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem uma função $ f $ definida em partes e precisamos verificar duas coisas:
a) Se existe um valor de $ a $ que faz a função ser contínua em $ x = 2 $.
b) Se a função é contínua para todo $ x $ maior que 2.
Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade.
a) Se existe um valor de $ a $ que faz a função ser contínua em $ x = 2 $.
b) Se a função é contínua para todo $ x $ maior que 2.
Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a parte (a). A função $ f $ é definida de duas maneiras:
- Para $ x \leq 2 $, $ f(x) = 2x + a $.
- Para $ x > 2 $, $ f(x) = \frac{4 - x^2}{3 - \sqrt{x^2 + 5}} $.
Queremos que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2) deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2), e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 2 $.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:
Substituindo $ x = 2 $ diretamente, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Então, vamos usar a regra de L’Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador:
Passo 4
Para a função ser contínua em $ x = 2 $, os limites devem ser iguais:
Então, existe sim um valor de $ a $ que torna a função contínua em 2, e esse valor é 2.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber se a função é contínua no intervalo $ (2, +\infty) $. Observando a definição da função para $ x > 2 $:
Para que a função seja contínua, o denominador não pode ser zero. Vamos verificar se $ 3 - \sqrt{x^2 + 5} = 0 $:
Como estamos considerando $ x > 2 $, não há valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero. Além disso, todas as operações envolvidas (raízes, polinômios, divisões com denominador não nulo) são contínuas nesse intervalo. Portanto, a função $ f $ é contínua para todo $ x > 2 $.
Resposta
a) Sim, existe $ a = 2 $ que torna $ f $ contínua em 2.
b) Sim, $ f $ é contínua no intervalo $ (2, +\infty) $.
b) Sim, $ f $ é contínua no intervalo $ (2, +\infty) $.