Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. Em um dado instante, o raio da base é de 18 cm e a altura 9 cm . Usando diferencial, obtenha:
O aumento aproximado do volume, se o raio da base varia para
e a altura para
.
O aumento aproximado do volume, se o raio da base varia para
Passo 1
O enunciado diz que um material escoa formando uma pilha cônica de raio da base r e altura h, de modo que o volume é V(r,h) e, no instante considerado, r=18 cm, h=9 cm. Queremos o aumento aproximado do volume quando r varia para 18,5 cm (Δr=0,5 cm) e h para 8,8 cm (Δh=–0,2 cm), usando diferenciais. O conteúdo é diferencial total de função de duas variáveis e derivadas parciais.
Passo 2
O volume de um cone de raio r e altura h é dado por:
Para usar diferencial total, precisamos das derivadas parciais de V em relação a r e a h. Pela teoria, a diferencial total é
.
Calculamos as derivadas parciais:
Calculamos as derivadas parciais:
Agora avaliamos em r=18 cm e h=9 cm:
Passo 3
Em r=18 e h=9:
Usando a diferencial total com Δr=0,5 cm e Δh=–0,2 cm:
Em valor numérico, isso dá aproximadamente 32,4·π ≃ 101,8 cm³.
Passo 4
Portanto, o volume aumenta em cerca de 32,4π cm³, ou aproximadamente 101,8 cm³.
Resposta
O aumento aproximado do volume é 32,4π cm³ (aproximadamente 101,8 cm³).