Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. Em um dado instante, o raio da base é de 18 cm e a altura 9 cm . Usando diferencial, obtenha:
O aumento aproximado do volume, se o raio da base varia para 18,5 cm e a altura para 8,8 cm.

Passo 1

O enunciado diz que um material escoa formando uma pilha cônica de raio da base r e altura h, de modo que o volume é V(r,h) e, no instante considerado, r=18 cm, h=9 cm. Queremos o aumento aproximado do volume quando r varia para 18,5 cm (Δr=0,5 cm) e h para 8,8 cm (Δh=–0,2 cm), usando diferenciais. O conteúdo é diferencial total de função de duas variáveis e derivadas parciais.

Passo 2

O volume de um cone de raio r e altura h é dado por:
V = 13pi r^2 h
Para usar diferencial total, precisamos das derivadas parciais de V em relação a r e a h. Pela teoria, a diferencial total é dV = partial Vpartial r dr + partial Vpartial h dh.
Calculamos as derivadas parciais:
partial Vpartial r = 13pi cdot 2r cdot h = 23pi r h
partial Vpartial h = 13pi r^2
Agora avaliamos em r=18 cm e h=9 cm:

Passo 3

Em r=18 e h=9:
partial Vpartial rg|(18,9) = 23pi cdot 18 cdot 9 = 108pi
partial Vpartial hg|(18,9) = 13pi cdot 18^2 = 108pi
Usando a diferencial total com Δr=0,5 cm e Δh=–0,2 cm:
dV approx 108pi cdot (0,5) + 108pi cdot (-0,2) = 54pi - 21,6pi = 32,4pi
Em valor numérico, isso dá aproximadamente 32,4·π ≃ 101,8 cm³.

Passo 4

Portanto, o volume aumenta em cerca de 32,4π cm³, ou aproximadamente 101,8 cm³.

Resposta

O aumento aproximado do volume é 32,4π cm³ (aproximadamente 101,8 cm³).

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