Usando diferencial, encontre um valor aproximado para a expressão [(1,01) e^0,015]^8.

Passo 1

O exercício pede para aproximar a expressão l[(1,01)e^0,015r]^8 usando o método dos diferenciais, ou seja, vamos linearizar a exponencial e depois a potência.

Passo 2

Primeiro, aproximamos e^0,015 por linearização em torno de b0=0. A função é g(b)=e^b e seu diferencial é
dg = e^b,db
Tomando b0=0 e db=0.015, temos:
e^0.015approx e^0 + dg = 1 + 1cdot 0.015 = 1.015

Passo 3

Em seguida, definimos u=1.01,e^0.015. Usando o valor aproximado de e^0.015, obtemos:
u approx 1.01times 1.015 = 1.02515

Passo 4

Agora aproximamos u^8 por linearização em torno de u0=1. A função é h(u)=u^8 e seu diferencial é
dh = 8,u^7,du
Como du = u - u0 = 1.02515 - 1 = 0.02515 e u0=1, temos:
dh = 8times1^7times0.02515 = 0.2012
Logo,
u^8 approx h(1) + dh = 1 + 0.2012 = 1.2012

Passo 5

Aplicando essas aproximações, concluímos que l[(1,01)e^0.015r]^8 é aproximadamente 1.2012.

Resposta

1.2012

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