Dada a função .
A função é diferenciável, em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)=.
Queremos saber se f é diferenciável em todo ponto com (x,y)≠(0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e vamos usar o fato de que polinômios são diferenciáveis e que quociente de funções diferenciáveis também é diferenciável quando o denominador não é zero.
Passo 2
Reconhecemos que x↦x{2}y{2} é polinomial em (x,y) e, portanto, diferenciável em todo R^2.
Passo 3
O denominador x^{4}+y^{4} também é um polinômio (logo diferenciável) e, para (x,y)≠(0,0), temos x^{4}+y^{4}>0, isto é, o denominador nunca se anula fora da origem.
Passo 4
Pela regra do quociente de funções de várias variáveis: se g e h são diferenciáveis em um ponto e h nesse ponto é não nulo, então g/h é diferenciável nesse ponto. Aplicando isso, vemos que f(x,y)=\frac{g(x,y)}{h(x,y)} é diferenciável sempre que (x,y)≠(0,0).
Resposta
Sim. Para todo (x,y)≠(0,0), f é quociente de funções polinomiais diferenciáveis com denominador não nulo, logo f é diferenciável em (x,y)≠(0,0).