Dada a função .
A função f(x, y)=ccx^2 y^2x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é diferenciável, em f? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^2y^2x^4+y^4,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0).
Queremos saber se f é diferenciável em todo ponto com (x,y)≠(0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e vamos usar o fato de que polinômios são diferenciáveis e que quociente de funções diferenciáveis também é diferenciável quando o denominador não é zero.

Passo 2

Reconhecemos que x↦x{2}y{2} é polinomial em (x,y) e, portanto, diferenciável em todo R^2.

Passo 3

O denominador x^{4}+y^{4} também é um polinômio (logo diferenciável) e, para (x,y)≠(0,0), temos x^{4}+y^{4}>0, isto é, o denominador nunca se anula fora da origem.

Passo 4

Pela regra do quociente de funções de várias variáveis: se g e h são diferenciáveis em um ponto e h nesse ponto é não nulo, então g/h é diferenciável nesse ponto. Aplicando isso, vemos que f(x,y)=\frac{g(x,y)}{h(x,y)} é diferenciável sempre que (x,y)≠(0,0).

Resposta

Sim. Para todo (x,y)≠(0,0), f é quociente de funções polinomiais diferenciáveis com denominador não nulo, logo f é diferenciável em (x,y)≠(0,0).

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