(12 pontos) Considere f: R R dada por
f(x)=x e^x
Você pode usar (não precisa calcular) que:
f^prime(x)=(x+1) e^x, f^prime prime(x)=(x+2) e^x
(a) Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) ) Determine os pontos onde f é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máximos e mínimos locais e absolutos; assíntotas (se houver).
(d) Faça o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f:RtoR, f(x)=x e^x,
e fornece as derivadas
f'(x)=(x+1)e^x, f''(x)=(x+2)e^x
O que vamos precisar: estudo de monotonicidade (sinal de f'), estudo de concavidade (sinal de f''), identificação de pontos críticos, extremos e inflexão, análise de continuidade e assíntotas, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Monotonicidade. Como e^x>0 para todo x, o sinal de
f'(x)=(x+1)e^x
é o mesmo de x+1. Logo:
  • Para x<-1: x+1<0implies f'(x)<0, então f é decrescente em (-infty,-1).
  • Para x>-1: x+1>0implies f'(x)>0, então f é crescente em (-1,infty).
    Em x=-1 temos a única raiz de f', com troca de sinal de decrescente para crescente, indicando ponto crítico.

Passo 3

Concavidade. Novamente e^x>0, então o sinal de
f''(x)=(x+2)e^x
é o mesmo de x+2. Assim:
  • Para x<-2: x+2<0implies f''(x)<0, concavidade para baixo em (-infty,-2).
  • Para x>-2: x+2>0implies f''(x)>0, concavidade para cima em (-2,infty).
    Em x=-2 a concavidade muda de para baixo para para cima, caracterizando ponto de inflexão.

Passo 4

Continuidade e pontos especiais. A função f(x)=x e^x é produto de polinômio e exponencial, logo contínua e infinitamente diferenciável em toda reta, sem descontinuidade.
Ponto de inflexão em x=-2, com coordenada
f(-2)=-2e^-2
Extremos. O único ponto crítico vem de f'(x)=0 em x=-1. Como f' muda de negativo para positivo, há mínimo local em x=-1. O valor é
f(-1)=-1e
Como limxto-inftyf(x)=0^- e limxto+inftyf(x)=+infty, esse mínimo em (-1,-1/e) é também mínimo absoluto. Não existem máximos locais nem globais.
Assíntotas. Não há assíntotas verticais. Para xto-infty
limxto-inftyx e^x=0,
então existe assíntota horizontal y=0 à esquerda. Para xto+infty a função cresce sem limite, sem assíntota horizontal.

Passo 5

Esboço do gráfico. A curva aproxima-se de y=0 por baixo quando xto-infty, decresce até o mínimo em (-1,-1/e), é côncava para baixo em (-infty,-2), passa por inflexão em (-2,-2e^-2) e fica côncava para cima em (-2,infty). Em x=0 cruza o eixo em (0,0) e cresce exponencialmente para +infty.

Resposta

(a) f decrescente em (-infty,-1) e crescente em (-1,infty).
(b) f côncava para baixo em (-infty,-2) e côncava para cima em (-2,infty).
(c) não há descontinuidade; ponto de inflexão em l(-2,-2e^-2r); único extremo é mínimo local e absoluto em l(-1,-1/er); assíntota horizontal y=0 quando xto-infty.
(d) esboço conforme descrito no passo anterior.

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