(12 pontos) Considere
dada por
Você pode usar (não precisa calcular) que:
(a) Determine os intervalos onde
é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde
é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) ) Determine os pontos onde
é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máximos e mínimos locais e absolutos; assíntotas (se houver).
(d) Faça o gráfico de
.
(b) Determine os intervalos onde
(c) ) Determine os pontos onde
(d) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e fornece as derivadas
O que vamos precisar: estudo de monotonicidade (sinal de
), estudo de concavidade (sinal de
), identificação de pontos críticos, extremos e inflexão, análise de continuidade e assíntotas, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Monotonicidade. Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Logo:
- Para
: , então é decrescente em . - Para
: , então é crescente em .
Emtemos a única raiz de , com troca de sinal de decrescente para crescente, indicando ponto crítico.
Passo 3
Concavidade. Novamente
, então o sinal de
é o mesmo de
. Assim:
- Para
: , concavidade para baixo em . - Para
: , concavidade para cima em .
Ema concavidade muda de para baixo para para cima, caracterizando ponto de inflexão.
Passo 4
Continuidade e pontos especiais. A função
é produto de polinômio e exponencial, logo contínua e infinitamente diferenciável em toda reta, sem descontinuidade.
Ponto de inflexão em
, com coordenada
Extremos. O único ponto crítico vem de
em
. Como
muda de negativo para positivo, há mínimo local em
. O valor é
Como
e
, esse mínimo em
é também mínimo absoluto. Não existem máximos locais nem globais.
Assíntotas. Não há assíntotas verticais. Para
então existe assíntota horizontal
à esquerda. Para
a função cresce sem limite, sem assíntota horizontal.
Passo 5
Esboço do gráfico. A curva aproxima-se de
por baixo quando
, decresce até o mínimo em
, é côncava para baixo em
, passa por inflexão em
e fica côncava para cima em
. Em
cruza o eixo em
e cresce exponencialmente para
.
Resposta
(a)
decrescente em
e crescente em
.
(b) côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(c) não há descontinuidade; ponto de inflexão em ; único extremo é mínimo local e absoluto em
; assíntota horizontal
quando
.
(d) esboço conforme descrito no passo anterior.
(b)
(c) não há descontinuidade; ponto de inflexão em
(d) esboço conforme descrito no passo anterior.