Calcule cada um dos limites
lim x infty x^1 / x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxtoinftyx^1/x.
O tema aqui é limites de indeterminações da forma 1^0. Vamos usar a função exponencial e o logaritmo natural para transformar essa expressão.

Passo 2

Definimos
y = x^1/x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, temos
ln y = lnl(x^1/xr) = ln xx
Logo
y = e^ln y = e^ln xx
Assim
limxtoinftyx^1/x = limxtoinftyy = limxtoinftye^ln xx = e^limxtoinftyln xx

Passo 3

Agora calculamos
L = limxtoinftyln xx
Essa é uma forma tfracinftyinfty, então aplicamos a regra de L’H^opital:
L = limxtoinftyddx(ln x)ddx(x) = limxtoinfty1/x1 = limxtoinfty1x = 0

Passo 4

Como limxtoinftyln xx=0, voltamos à expressão em termos de y:
limxtoinftyx^1/x = e^0 = 1

Resposta

1

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