Calcule cada um dos limites
lim x 0(1+x)^cotg x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
limxto0(1+x)^cot x
Trata-se de uma forma indeterminada 1^infty. Para resolver, usaremos a transformação logarítmica e, em seguida, o Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Definindo \r
L=limxto0(1+x)^cot x,
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln L=limxto0cot x;ln(1+x)
Ao final, teremos L=e^ln L.

Passo 3

Escrevemos cot x como cos xsin x e obtemos \r
ln L=limxto0cos x,ln(1+x)sin x,
que é da forma 0/0, pois cos x,ln(1+x)to0 e sin xto0.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
derivada do numerador:
ddxl[cos x,ln(1+x)r] =cos x1+x-sin x,ln(1+x),
derivada do denominador:
ddx[sin x]=cos x
Então
ln L =limxto0cos x1+x-sin x,ln(1+x)cos x =1/(1+0)-01=1

Passo 5

Como ln L=1, segue que
L=e^ln L=e^1=e

Resposta

limxto0(1+x)^cot x=e

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