Calcule cada um dos limites
lim x infty(xx-2)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyl(xx-2r)^x.
Este tipo de limite costuma aparecer na forma (1+algo)^infty, e a técnica mais eficaz é usar logaritmo para transformar em exponencial.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(xx-2r)^x
Supondo que L exista, aplicamos logaritmo:
ln L = limxtoinfty x ,ln!l(xx-2r)

Passo 3

Reescrevemos o argumento do logaritmo de forma a usar o limite padrão de ln:
ln!l(xx-2r) = lnl(1 - 2xr)^-1 = -,lnl(1 - 2xr)
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ln L = -,limxtoinfty x,lnl(1 - 2xr)

Passo 4

Usamos o limite conhecido
limuto0ln(1+u)u=1.
Aqui tomamos u=-2/x, que tende a zero quando xtoinfty. Então
x,lnl(1 - 2xr) = ln(1+u)u;(-2) ;longrightarrow;-2cdot1=-2
Portanto
ln L = -(-2)=2

Resposta

e^2

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