[12 pontos] Considere um júri constituído por 12 jurados que adota a seguinte regra para determinar o veredito: se pelo menos dez dos jurados julgarem o réu culpado, este será condenado, caso contrário ele não será condenado. Suponha que cada jurado dá seu veredito independentemente dos demais e que cada um toma a decisão correta com 0,85 de probabilidade. Para um réu, efetivamente culpado, qual a probabilidade de ele ser condenado?

Passo 1

O enunciado descreve um júri com n=12 jurados independentes, cada qual votando “culpado” com probabilidade p=0,85 quando o réu é de fato culpado. A regra diz que o réu é condenado se pelo menos 10 jurados votarem culpado. O conteúdo aplicado aqui é a distribuição binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X = \text{número de votos “culpado” entre 12 jurados},ú
que satisfaz
X \sim \mathrm{Binomial}(n=12,\;p=0,85).
Queremos a probabilidade de condenação, isto é,
P(\text{condenação}) = P(X \ge 10).çã

Passo 3

Pela fórmula da binomial,
P(X \ge 10) = \sum_{k=10}^{12} \binom{12}{k}\,(0,85)^{k}\,(0,15)^{12-k}.

Passo 4

Agora calculamos cada termo da soma:
P(X=10) = \binom{12}{10}\,(0,85)^{10}\,(0,15)^{2} =66\times(0,85)^{10}\times(0,15)^{2} \approx 0,2925,
P(X=11) = \binom{12}{11}\,(0,85)^{11}\,(0,15)^{1} =12\times(0,85)^{11}\times(0,15) \approx 0,3014,
P(X=12) = \binom{12}{12}\,(0,85)^{12}\,(0,15)^{0} =(0,85)^{12} \approx 0,1423.
Somando os três termos, obtemos
P(X\ge10)\approx 0,2925 + 0,3014 + 0,1423 = 0,7362.

Resposta

A probabilidade de o réu efetivamente culpado ser condenado é aproximadamente 0,736 (73,6%).

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