Suponha que se está verificando a qualidade de lotes de um determinado material. Em uma amostra de 150 unidades do material, verificou-se que 45 não atenderam às especificações de resistência.
Construa um intervalo de confiança com 80 \% de confiança.

Passo 1

O enunciado diz que, em uma amostra de n=150 unidades, observou-se x=45 não conformes. Queremos um intervalo de confiança de 80\% para a proporção verdadeira p de não conformes. O conteúdo usado é o de inferência para proporção com grande amostra, usando a aproximação normal ao estimador \hat p.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{45}{150} = 0,30.

Passo 3

Verificamos as condições de aplicabilidade da aproximação normal:
n\hat p = 150 \times 0,30 = 45 \ge 5, \quad n(1-\hat p)=150 \times 0,70=105 \ge 5.
Como ambas são maiores que 5, podemos usar o IC normal.

Passo 4

Para nível de confiança 80\%, temos \alpha = 1-0,80=0,20 e \alpha/2=0,10. O valor crítico é
z_{0,10}\approx 1,2816.

Passo 5

O erro-padrão de \hat p é
\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,30\times0,70}{150}} \approx 0,03742.

Passo 6

A margem de erro é
E = z_{0,10}\,\mathrm{SE}(\hat p) \approx 1,2816 \times 0,03742 \approx 0,0480.
Logo o intervalo de confiança é
\bigl[\hat p - E,\;\hat p + E\bigr] = [\,0,30 - 0,0480,\;0,30 + 0,0480\,] \approx [\,0,252,\;0,348\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 80\% para a proporção de não conformes é aproximadamente
[\,0,252,\;0,348\,].

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