• An article in Concrete Research [“Near Surface Characteristics of Concrete: Intrinsic Permeability” (1989, Vol. 41)] presented data on compressive strength x and intrinsic permeability y of various concrete mixes and cures. Summary quantities are n=14, \sum y_{i}=572, \sum y_{i}^{2}=23,530, \sum x_{i}=43, \sum x_{i}^{2}=157.42, and \sum x_{i} y_{i}=1697.80. Assume that the two variables are related according to the simple linear regression model.
    (a) Calculate the least squares estimates of the slope and intercept. Estimate \sigma^{2}. Graph the regression line.
    (b) Use the equation of the fitted line to predict what permeability would be observed when the compressive strength is x=4.3.
    (c) Give a point estimate of the mean permeability when compressive strength is x=3.7.
    (d) Suppose that the observed value of permeability at x=3.7 is y=46.1. Calculate the value of the corresponding residual.

Passo 1

O enunciado dá n=14 observações (x_i,y_i) com
\sum x_i=43, \sum x_i^2=157.42, \sum y_i=572, \sum y_i^2=23530 e \sum x_i y_i=1697.80.
Pede-se ajustar o modelo de regressão linear simples
y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon,
obter \hat\beta_0, \hat\beta_1, estimar \sigma^2, traçar a reta ajustada, fazer previsões em x=4.3 e x=3.7 e calcular o resíduo em x=3.7.

Passo 2

Calcular o coeficiente angular
\hat\beta_1 = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)} {n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{14\cdot1697.80 - 43\cdot572}{14\cdot157.42 - 43^2} = \frac{23769.2 - 24596}{2203.88 - 1849} = \frac{-826.8}{354.88} \approx -2.33.
Calcular o coeficiente linear
\bar x = \frac{43}{14}\approx3.0714, \quad \bar y = \frac{572}{14}\approx40.8571,
\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1\,\bar x \approx 40.8571 - (-2.33)\times3.0714 \approx 48.016.

Passo 3

Estimar o erro residual e \sigma^2. Primeiro
S_{YY} = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n} = 23530 - \frac{572^2}{14} \approx 159.7143,
S_{XY} = \sum x_i y_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n} = 1697.80 - \frac{43\cdot572}{14} \approx -59.057.
Então o somatório dos quadrados dos resíduos é
\mathrm{SSE} = S_{YY} - \hat\beta_1\,S_{XY} \approx 159.7143 - (-2.33)(-59.057) \approx 22.12.
A estimativa de \sigma^2 é
\hat\sigma^2 = \frac{\mathrm{SSE}}{n-2} = \frac{22.12}{12} \approx 1.84.

Passo 4

A reta de regressão ajustada é
\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x \approx 48.016 \;-\; 2.33\,x.
No gráfico, é a reta com intercepto 48.016 e inclinação -2.33.

Passo 5

Para x=4.3, a previsão é
\hat y(4.3) = 48.016 - 2.33\cdot4.3 \approx 48.016 - 10.019 \approx 37.997\approx38.00.

Passo 6

A estimativa do valor médio em x=3.7 é
\hat y(3.7) = 48.016 - 2.33\cdot3.7 \approx 48.016 - 8.621 \approx 39.395\approx39.40.

Passo 7

Se em x=3.7 observou-se y=46.1, o resíduo é
e = y - \hat y(3.7) = 46.1 - 39.395 \approx 6.705.

Resposta

(a) \displaystyle \hat\beta_1\approx -2.33,\; \hat\beta_0\approx48.016,\; \hat\sigma^2\approx1.84.
A reta de regressão é \displaystyle \hat y =48.016 -2.33\,x.
(b) \hat y(4.3)\approx38.00.
(c) \hat y(3.7)\approx39.40.
(d) Resíduo em x=3.7: e\approx6.705.

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