Suponha que se está verificando a qualidade de lotes de um determinado material. Em uma amostra de 150 unidades do material, verificou-se que 45 não atenderam às especificações de resistência.
Construa um intervalo de confiança com 95% de confiança para a proporção de unidades de material que não atendem às especificações na população.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=150 em que x=45 unidades não atendem à especificação. Queremos um intervalo de confiança de 95 % para a proporção p de unidades não conformes na população. Como n\hat p e n(1-\hat p) são ambos maiores que 5, podemos usar a aproximação normal (IC de Wald):
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\mathrm{SE}\,.

Passo 2

Calcular a proporção amostral:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{45}{150} = 0,3.

Passo 3

Verificar condições para a aproximação normal:
n\hat p = 150 \times 0,3 = 45 > 5, \quad n(1-\hat p) = 150 \times 0,7 = 105 > 5.
Como ambas são maiores que 5, a fórmula de Wald é válida.

Passo 4

Calcular o erro padrão (SE) de \hat p:
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,3\times0,7}{150}} \approx 0,0374.

Passo 5

Para nível de confiança de 95 %, o quantil crítico é
z_{0,025} = 1,96.
Logo a margem de erro é
E = z_{0,025}\,\mathrm{SE} = 1,96 \times 0,0374 \approx 0,0733.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança:
\bigl[\hat p - E,\;\hat p + E\bigr] = [\,0,3 - 0,0733,\;0,3 + 0,0733\,] \approx [\,0,2267,\;0,3733\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para a proporção de unidades não conformes é aproximadamente
[0,2267,\;0,3733],
ou, em porcentagem, de 22,7 % a 37,3 %.

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