Uma prova foi aplicada em duas turmas distintas. Na primcira, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40 . Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20 . Qual a média aritmética dos 80 alunos?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Dados:
    • Primeira turma: n_1=30 alunos, média \bar{x}_1=6,40.
    • Segunda turma: n_2=50 alunos, média \bar{x}_2=5,20.
  • Pergunta: qual é a média aritmética dos n=n_1+n_2=80 alunos no total?

Passo 2

Entendendo o que é média aritmética e a ideia que vamos usar.
  • Definição simples: a média aritmética de um conjunto de números é a soma desses números dividida pela quantidade de números.
  • Fórmula geral:
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n},
onde \sum_{i=1}^{n} x_i é a soma de todas as notas e n é o número total de alunos.
  • No nosso caso não conhecemos cada nota individual, mas conhecemos as médias e os tamanhos de cada turma. Podemos recuperar a soma total das notas de cada turma usando:
\text{soma da turma 1} = n_1\cdot\bar{x}_1, \qquad \text{soma da turma 2} = n_2\cdot\bar{x}_2.
A soma total será a soma dessas duas parcelas.

Passo 3

Calcular a soma das notas da primeira turma usando os dados do enunciado:
n_1\cdot\bar{x}_1 = 30\cdot 6,40.
Fazendo a conta passo a passo: 30 = 3\cdot 10, então
30\cdot 6,40 = (3\cdot 10)\cdot 6,40 = 3\cdot(10\cdot 6,40) = 3\cdot 64,0 = 192,0.
Portanto a soma das notas da primeira turma é 192,0.

Passo 4

Calcular a soma das notas da segunda turma:
n_2\cdot\bar{x}_2 = 50\cdot 5,20.
Fazendo a conta passo a passo: 50 = 5\cdot 10, então
50\cdot 5,20 = (5\cdot 10)\cdot 5,20 = 5\cdot(10\cdot 5,20) = 5\cdot 52,0 = 260,0.
Portanto a soma das notas da segunda turma é 260,0.

Passo 5

Somar as duas somas para obter a soma total de todas as notas:
\text{soma total} = 192,0 + 260,0 = 452,0.

Passo 6

Calcular a média aritmética geral dividindo a soma total pelo número total de alunos n=80:
\bar{x}=\frac{452,0}{80}.
Para facilitar a conta, dividir por 80 fazendo \dfrac{452,0}{80}=\dfrac{452,0}{8}\cdot\dfrac{1}{10}. Primeiro \dfrac{452,0}{8}=56,5. Em seguida \dfrac{56,5}{10}=5,65. Logo
\bar{x}=5,65.

Passo 7

Observação didática (útil para a prova): este é um caso de média ponderada. A média geral também pode ser obtida pela fórmula direta da média ponderada:
\bar{x}=\frac{n_1\bar{x}_1+n_2\bar{x}_2}{n_1+n_2} =\frac{30\cdot 6,40 + 50\cdot 5,20}{30+50} =\frac{192,0+260,0}{80} =\frac{452,0}{80}=5,65.
Importante: não se pode simplesmente tirar a média das duas médias (por exemplo \tfrac{6,40+5,20}{2}), porque as turmas têm tamanhos diferentes — então cada média tem peso diferente.

Resposta

5,65

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