Uma prova foi aplicada em duas turmas distintas. Na primcira, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40 . Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20 . Qual a média aritmética dos 80 alunos?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Dados:
- Primeira turma:
alunos, média . - Segunda turma:
alunos, média .
- Primeira turma:
- Pergunta: qual é a média aritmética dos
alunos no total?
Passo 2
Entendendo o que é média aritmética e a ideia que vamos usar.
- Definição simples: a média aritmética de um conjunto de números é a soma desses números dividida pela quantidade de números.
- Fórmula geral:
onde
é a soma de todas as notas e
é o número total de alunos.
- No nosso caso não conhecemos cada nota individual, mas conhecemos as médias e os tamanhos de cada turma. Podemos recuperar a soma total das notas de cada turma usando:
A soma total será a soma dessas duas parcelas.
Passo 3
Calcular a soma das notas da primeira turma usando os dados do enunciado:
Fazendo a conta passo a passo:
, então
Portanto a soma das notas da primeira turma é
.
Passo 4
Calcular a soma das notas da segunda turma:
Fazendo a conta passo a passo:
, então
Portanto a soma das notas da segunda turma é
.
Passo 5
Somar as duas somas para obter a soma total de todas as notas:
Passo 6
Calcular a média aritmética geral dividindo a soma total pelo número total de alunos
:
Para facilitar a conta, dividir por
fazendo
. Primeiro
. Em seguida
. Logo
Passo 7
Observação didática (útil para a prova): este é um caso de média ponderada. A média geral também pode ser obtida pela fórmula direta da média ponderada:
Importante: não se pode simplesmente tirar a média das duas médias (por exemplo
), porque as turmas têm tamanhos diferentes — então cada média tem peso diferente.