[12 pontos] Usando a conservação do momento angular na colisão entre o carrinho e o disco, derive uma expressão para a massa do disco m_{\text {disco }} em termos das grandezas medidas no experimento. A partir dessa expressão, deduza a fórmula para a incerteza \sigma_{m_{\text {disco }} \text {, propagando as incertezas das }} grandezas medidas experimentalmente.

Passo 1

O que o enunciado pede: derive uma expressão para a massa do disco \,m_{\text{disco}}\, usando a conservação do momento angular na colisão entre o carrinho e o disco, e a partir dessa expressão deduza a fórmula para a incerteza \,\sigma_{m_{\text{disco}}}\, em termos das incertezas das grandezas medidas experimentalmente.\n
Informações que temos (símbolos que vamos usar, todas medidas no experimento): \n
  • m_c: massa do carrinho (medida), com incerteza \sigma_{m_c}. \n
  • v: velocidade do carrinho imediatamente antes da colisão (medida), com incerteza \sigma_v. \n
  • R: raio do disco (medido), com incerteza \sigma_R. \n
  • \omega: velocidade angular comum após a colisão (medida), com incerteza \sigma_\omega. \n
    Observações/hipóteses que vamos usar sem provar aqui (estas são condições usuais do experimento): o carrinho fixa-se no bordo do disco no momento da colisão (colisão “grudante”), não há torque externo significativo durante a colisão (logo o momento angular em relação ao centro do disco é conservado), e o disco é um disco sólido uniforme cujo momento de inércia em torno do eixo central é I_{\text{disco}}=\tfrac{1}{2}m_{\text{disco}}R^{2}. \n

Passo 2

Conceito-chave (passo didático): momento angular para um ponto material que se move com velocidade linear \mathbf{v} a uma distância R do eixo é \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}. No nosso caso, a magnitude do momento angular do carrinho, medido em relação ao centro do disco, é
L_{\text{carrinho}}=m_c v R,
porque \mathbf{p}=m_c\mathbf{v} e o braço é R e o produto vetorial tem módulo m_c v R (assumindo colisão tangencial). \n
O momento angular final, logo após a colisão, é dado pelo momento de inércia do conjunto disco+carrinho (o carrinho pode ser tratado como massa pontual na borda) multiplicado por \omega:
L_{\text{final}}=\bigg(I_{\text{disco}}+m_c R^{2}\bigg)\omega.

Passo 3

Aplicando conservação do momento angular (momento angular inicial = momento angular final):
m_c v R = \left(\tfrac{1}{2}m_{\text{disco}}R^{2} + m_c R^{2}\right)\omega.
Agora isolamos m_{\text{disco}}. Primeiro dividimos ambos os lados por R^{2}\omega:
\frac{m_c v}{R\omega} = \tfrac{1}{2}m_{\text{disco}} + m_c.
Subtraindo m_c e multiplicando por 2 obtemos:
m_{\text{disco}} = 2\left(\frac{m_c v}{R\omega} - m_c\right).
Fatorando m_c:
m_{\text{disco}} = 2 m_c\left(\frac{v}{R\omega} - 1\right).
Essa é a expressão pedida para a massa do disco em termos das grandezas medidas.

Passo 4

Como propagar incertezas (mini-aula): se temos uma quantidade f que depende de variáveis independentes medidas x_i com incertezas \sigma_{x_i}, a incerteza padrão de f é dada, na aproximação linear (erros pequenos e variáveis independentes), por
\sigma_{f}^{2}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{2}\sigma_{x_i}^{2}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula com f=m_{\text{disco}}(m_c,v,R,\omega). Pressupomos que as incertezas das medições são independentes (sem correlações).

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Partimos de
m_{\text{disco}} = 2 m_c\left(\frac{v}{R\omega} - 1\right).
As derivadas parciais são:
\frac{\partial m_{\text{disco}}}{\partial m_c} = 2\left(\frac{v}{R\omega} - 1\right),
\frac{\partial m_{\text{disco}}}{\partial v} = 2 m_c\cdot\frac{1}{R\omega},
\frac{\partial m_{\text{disco}}}{\partial R} = 2 m_c\cdot\left(-\frac{v}{R^{2}\omega}\right) = -2 m_c\frac{v}{R^{2}\omega},
\frac{\partial m_{\text{disco}}}{\partial \omega} = 2 m_c\cdot\left(-\frac{v}{R\omega^{2}}\right) = -2 m_c\frac{v}{R\omega^{2}}.

Passo 6

Agora montamos a expressão para \sigma_{m_{\text{disco}}}^{2} usando a soma dos quadrados das derivadas vezes as variâncias:
\sigma_{m_{\text{disco}}}^{2} = \left[2\left(\frac{v}{R\omega}-1\right)\right]^{2}\sigma_{m_c}^{2} + \left[\frac{2 m_c}{R\omega}\right]^{2}\sigma_{v}^{2} + \left[2 m_c\frac{v}{R^{2}\omega}\right]^{2}\sigma_{R}^{2} + \left[2 m_c\frac{v}{R\omega^{2}}\right]^{2}\sigma_{\omega}^{2}.
Como as últimas duas derivadas tinham sinal negativo, no quadrado o sinal some — por isso aparecem termos positivos. Finalmente, a incerteza padrão \sigma_{m_{\text{disco}}} é a raiz quadrada dessa soma:
\sigma_{m_{\text{disco}}}=\sqrt{\sigma_{m_{\text{disco}}}^{2}}.

Passo 7

Dicas práticas rápidas: na prática, antes de aplicar a fórmula, verifique unidades consistentes (por exemplo v em m/s, R em m, m_c em kg, \omega em rad/s). Se algum termo dominar a incerteza (por exemplo \sigma_\omega muito grande), isso indicará onde melhorar a medição. Força aí — você já tem a expressão e a fórmula de incerteza para usar nos dados do experimento! \n

Resposta

m_{\text{disco}} = 2 m_c\left(\frac{v}{R\omega}-1\right)
\sigma_{m_{\text{disco}}} = \sqrt{\,\left[2\left(\frac{v}{R\omega}-1\right)\right]^{2}\sigma_{m_c}^{2} + \left[\frac{2 m_c}{R\omega}\right]^{2}\sigma_{v}^{2} + \left[2 m_c\frac{v}{R^{2}\omega}\right]^{2}\sigma_{R}^{2} + \left[2 m_c\frac{v}{R\omega^{2}}\right]^{2}\sigma_{\omega}^{2}\,}

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