[12 pontos] Usando a conservação do momento angular na colisão entre o carrinho e o disco, derive uma expressão para a massa do disco
em termos das grandezas medidas no experimento. A partir dessa expressão, deduza a fórmula para a incerteza
grandezas medidas experimentalmente.
Passo 1
O que o enunciado pede: derive uma expressão para a massa do disco
usando a conservação do momento angular na colisão entre o carrinho e o disco, e a partir dessa expressão deduza a fórmula para a incerteza
em termos das incertezas das grandezas medidas experimentalmente.\n
Informações que temos (símbolos que vamos usar, todas medidas no experimento): \n
Informações que temos (símbolos que vamos usar, todas medidas no experimento): \n
-
: massa do carrinho (medida), com incerteza . \n -
: velocidade do carrinho imediatamente antes da colisão (medida), com incerteza . \n -
: raio do disco (medido), com incerteza . \n -
: velocidade angular comum após a colisão (medida), com incerteza . \n
Observações/hipóteses que vamos usar sem provar aqui (estas são condições usuais do experimento): o carrinho fixa-se no bordo do disco no momento da colisão (colisão “grudante”), não há torque externo significativo durante a colisão (logo o momento angular em relação ao centro do disco é conservado), e o disco é um disco sólido uniforme cujo momento de inércia em torno do eixo central é. \n
Passo 2
Conceito-chave (passo didático): momento angular para um ponto material que se move com velocidade linear
a uma distância
do eixo é
. No nosso caso, a magnitude do momento angular do carrinho, medido em relação ao centro do disco, é
porque
e o braço é
e o produto vetorial tem módulo
(assumindo colisão tangencial). \n
O momento angular final, logo após a colisão, é dado pelo momento de inércia do conjunto disco+carrinho (o carrinho pode ser tratado como massa pontual na borda) multiplicado por :
O momento angular final, logo após a colisão, é dado pelo momento de inércia do conjunto disco+carrinho (o carrinho pode ser tratado como massa pontual na borda) multiplicado por
Passo 3
Aplicando conservação do momento angular (momento angular inicial = momento angular final):
Agora isolamos
. Primeiro dividimos ambos os lados por
:
Subtraindo
e multiplicando por
obtemos:
Fatorando
:
Essa é a expressão pedida para a massa do disco em termos das grandezas medidas.
Passo 4
Como propagar incertezas (mini-aula): se temos uma quantidade
que depende de variáveis independentes medidas
com incertezas
, a incerteza padrão de
é dada, na aproximação linear (erros pequenos e variáveis independentes), por
Aqui vamos aplicar essa fórmula com
. Pressupomos que as incertezas das medições são independentes (sem correlações).
Passo 5
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Partimos de
As derivadas parciais são:
Passo 6
Agora montamos a expressão para
usando a soma dos quadrados das derivadas vezes as variâncias:
Como as últimas duas derivadas tinham sinal negativo, no quadrado o sinal some — por isso aparecem termos positivos. Finalmente, a incerteza padrão
é a raiz quadrada dessa soma:
Passo 7
Dicas práticas rápidas: na prática, antes de aplicar a fórmula, verifique unidades consistentes (por exemplo
em m/s,
em m,
em kg,
em rad/s). Se algum termo dominar a incerteza (por exemplo
muito grande), isso indicará onde melhorar a medição. Força aí — você já tem a expressão e a fórmula de incerteza para usar nos dados do experimento! \n