[20 pontos] Compare a massa do disco determinada usando a conservação do momento angular com a massa real anotada no disco
g. O resultado indica que o momento angular foi conservado na colisão? Explique. Caso haja diferença entre os valores, discuta possíveis fontes de erro experimental (por exemplo, atrito, desalinhamento ou pequeno giro inicial do disco).
Passo 1
O enunciado pede:
- Comparar a massa do disco determinada a partir da conservação do momento angular com a massa real anotada no disco
- Dizer se o resultado indica que o momento angular foi conservado na colisão e explicar.
- Caso haja diferença entre os valores, discutir possíveis fontes de erro experimental (ex.: atrito, desalinhamento, pequeno giro inicial do disco).
Informações dadas explicitamente:
Informações necessárias, que não foram fornecidas no enunciado, e que são exigidas para fazer uma comparação numérica completa:
-
: velocidade angular do disco antes da colisão; -
: velocidade angular do sistema (disco + massa adicionada) após a colisão; -
: massa adicionada que colide/agarra no disco (se for esse o procedimento do experimento); -
: raio (distância ao eixo) onde a massa adicionada fica presa; -
: raio do disco (para converter momento de inércia em massa do disco); - incertezas experimentais associadas a
.
Sem esses valores medidos não é possível produzir um número para a massa determinada pela conservação nem fazer uma comparação numérica definitiva. A resolução numérica começa a seguir (mostrando como proceder na prova e como decidir se houve conservação).
Passo 2
Princípio físico usado (explicação didática pequena):
- O momento angular total
de um sistema em torno de um eixo é dado por , onde é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo e é a velocidade angular. - Se durante a colisão não atuam torques externos significativos sobre o sistema (ou se o intervalo de tempo é muito curto), o momento angular é conservado:
Aplicando ao experimento típico em que uma massa
é colocada no disco e fica agarrada:
- Antes da colisão: apenas o disco gira, momento angular inicial
onde
é o momento de inércia do disco (desconhecido).
- Depois da colisão: disco + massa adicionada giram juntos com
, momento angular final
onde
é o momento de inércia da massa adicionada em relação ao eixo.
Conservação:
Passo 3
Isolando
da equação acima (passo algébrico mostrado para você saber fazer na prova):
Explicando o que cada símbolo significa:
-
: velocidade angular do disco ANTES da massa ser colocada (medida experimental). -
: velocidade angular do conjunto APÓS a massa fixar no disco (medida experimental). -
: momento de inércia da massa adicionada em relação ao eixo (calculado a partir da massa e da posição onde ficou). -
: momento de inércia do disco (o que queremos obter). - Note: esta fórmula assume que
e que a colisão é instantânea e que não há torques externos significativos durante o processo.
Passo 4
Relacionando
com a massa do disco:
- Para um disco uniforme de raio
o momento de inércia em torno do eixo central é
- Assim, combinando com o resultado do passo anterior, a massa calculada do disco é
Este é o passo-chave: com
,
e
medidos/conhecidos você calcula
e o compara com
Passo 5
Como calcular
(casos comuns):
- Se a massa adicionada
pode ser tratada como uma partícula puntiforme presa a uma distância do eixo, então
- Se a massa adicionada for um anel fino de raio
, também . - Se for um cilindro/barra com distribuição conhecida, use a fórmula apropriada (somatório/integral). O ponto é: calcule
a partir da geometria e da massa conhecida de .
Passo 6
Propagação de incertezas (como fazer na prova, passo a passo):
- O valor calculado
depende de várias quantidades medidas. A incerteza aproximada é obtida por propagação linear:
onde
percorre as variáveis medidas
e
são suas incertezas.
- Exemplo do termo para
: calcule usando derivação de funções, e insira para obter a contribuição quadrática. (Na prova mostre a derivada; aqui o método é o importante.) - Em muitos experimentos a incerteza em
domina; então assegure-se de avaliar bem (por exemplo, através do desvio padrão de várias medidas de tempo para um número fixo de revoluções).
Passo 7
Como decidir se o momento angular foi conservado (regra prática estatística):
- Calcule a diferença
- Calcule a incerteza combinada
onde
(dado).
- Critério de consistência:
- Se
então os valores são consistentes dentro de aproximadamente 95% de confiança — conclusão: não há evidência estatística de violação da conservação do momento angular (aceita-se conservação dentro das incertezas experimentais). - Se
então há diferença estatisticamente significativa — conclusão: os dados indicam que o momento angular provavelmente não foi conservado (ou que há erros sistemáticos não contabilizados).
- Se
Observação: usar
(68%) seria um critério mais frouxo;
(95%) é um critério mais conservador e usual em experimentos de bancada.
Passo 8
Interpretação física e como diferentes erros afetam
(explicação prática e intuitiva):
- Atrito/torque externo durante a colisão: se houver torque externo durante o intervalo da colisão (por exemplo atrito nas buchas, contato com suportes), parte do momento angular pode ser transferida para o suporte, fazendo a relação ideal falhar. Em geral isso tende a reduzir
medido em comparação ao ideal; como depende de , uma menor (devido a torque dissipativo) costuma produzir um menor do que o real (ver detalhe abaixo). - Desalinhamento / posição errada da massa adicionada: se a massa não ficar exatamente na distância
suposta, o usado será incorreto. Subestimar leva a subestimar e, portanto, subestimar . - Giro inicial da massa adicionada (não desprezível): se a massa já estiver girando antes de contato, sua contribuição ao momento angular antes da colisão muda a equação (há momento angular adicional que deve ser contabilizado). Ignorar isso leva a erro sistemático no
. - Colisão não instantânea ou deslizamento: se a massa desliza antes de agarrar ou existe rebote parcial, a transferência de momento angular não segue a equação simples. Isso pode aumentar ou diminuir
medido dependendo do detalhe da interação. - Erros de medição de
: tempos medidos com cronômetro manual têm erro de reação; usar vários períodos e dividir diminui erro relativo. Uma pequena incerteza em e pode se amplificar na expressão quando e são próximos. - Distribuição não uniforme do disco ou massa do disco diferente do nominal: se o disco não for homogêneo, a relação
não é exata e isso introduz viés sistemático.
Direção do efeito (resumindo intuitivamente):
- Se atrito/dissipação reduz
em relação ao ideal, isso tende a reduzir (resultado: massa calculada menor que massa real). - Se o valor de
usado for maior que o real, será superestimado e então será superestimado (e vice‑versa). - Erros nas medidas de
quando e são próximas geram grande incerteza em porque o denominador fica pequeno.
Passo 9
Como melhorar o experimento (dicas práticas e rápidas, estilo checklist):
- Reduzir atrito: lubrificar rolamentos, usar rolamentos de baixa fricção, minimizar contato externo durante a colisão.
- Garantir alinhamento preciso e posicionamento reprodutível de
(usar guias para posicionamento). - Medir
por vários métodos (sensor óptico, fotocélula, vídeo com marcador) e tirar média de várias repetições. - Medir tempos para muitas revoluções e dividir para obter
com baixa incerteza. - Medir
e cuidadosamente com paquímetro e estimar suas incertezas. - Repetir várias corridas e calcular média e desvio-padrão para reduzir erro aleatório.
- Verificar se a massa adicionada realmente fica fixa (sem deslizar) e se não há giro inicial.
Resposta
Não é possível decidir numericamente se o momento angular foi conservado porque os valores experimentais necessários (
e suas incertezas) não foram fornecidos. Para comparar, calcule
com
no caso de massa puntiforme a distância
; em seguida calcule
e a incerteza combinada
. Se
então os valores são consistentes e podemos afirmar que o momento angular foi conservado dentro das incertezas; se
então há evidência de não conservação (ou de erros experimentais significativos).
Possíveis fontes de erro que explicariam uma discrepância: atrito/torques externos durante a colisão (reduzem e tendem a subestimar
), desalinhamento ou erro na posição
da massa adicionada (altera
), giro inicial da massa adicionada, colisão não instantânea com deslizamento ou rebote, erros de medição de
(especialmente se
e
forem próximas), e suposições incorretas sobre a distribuição de massa do disco (ou seja,
).
Possíveis fontes de erro que explicariam uma discrepância: atrito/torques externos durante a colisão (reduzem