[20 pontos] Compare a massa do disco determinada usando a conservação do momento angular com a massa real anotada no disco m_{\text {disco,real }}=54,7 \_\_\_\_ \pm 0,5 \_\_\_\_ g. O resultado indica que o momento angular foi conservado na colisão? Explique. Caso haja diferença entre os valores, discuta possíveis fontes de erro experimental (por exemplo, atrito, desalinhamento ou pequeno giro inicial do disco).

Passo 1

O enunciado pede:
  • Comparar a massa do disco determinada a partir da conservação do momento angular com a massa real anotada no disco \;m_{\text{disco,real}} = 54,7 \pm 0,5\\ \text{g}.
  • Dizer se o resultado indica que o momento angular foi conservado na colisão e explicar.
  • Caso haja diferença entre os valores, discutir possíveis fontes de erro experimental (ex.: atrito, desalinhamento, pequeno giro inicial do disco).
Informações dadas explicitamente:
m_{\text{disco,real}} = 54,7 \pm 0,5\\ \text{g}.
Informações necessárias, que não foram fornecidas no enunciado, e que são exigidas para fazer uma comparação numérica completa:
  • \omega_i: velocidade angular do disco antes da colisão;
  • \omega_f: velocidade angular do sistema (disco + massa adicionada) após a colisão;
  • m_a: massa adicionada que colide/agarra no disco (se for esse o procedimento do experimento);
  • r: raio (distância ao eixo) onde a massa adicionada fica presa;
  • R: raio do disco (para converter momento de inércia em massa do disco);
  • incertezas experimentais associadas a \omega_i,\omega_f,m_a,r,R.
Sem esses valores medidos não é possível produzir um número para a massa determinada pela conservação nem fazer uma comparação numérica definitiva. A resolução numérica começa a seguir (mostrando como proceder na prova e como decidir se houve conservação).

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática pequena):
  • O momento angular total L de um sistema em torno de um eixo é dado por L=I\omega, onde I é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo e \omega é a velocidade angular.
  • Se durante a colisão não atuam torques externos significativos sobre o sistema (ou se o intervalo de tempo é muito curto), o momento angular é conservado:
L_{\text{antes}} = L_{\text{depois}}.
Aplicando ao experimento típico em que uma massa m_a é colocada no disco e fica agarrada:
  • Antes da colisão: apenas o disco gira, momento angular inicial
L_i = I_d \,\omega_i,
onde I_d é o momento de inércia do disco (desconhecido).
  • Depois da colisão: disco + massa adicionada giram juntos com \omega_f, momento angular final
L_f = (I_d + I_a)\,\omega_f,
onde I_a é o momento de inércia da massa adicionada em relação ao eixo.
Conservação:
I_d\,\omega_i = (I_d + I_a)\,\omega_f.

Passo 3

Isolando I_d da equação acima (passo algébrico mostrado para você saber fazer na prova):
I_d\,\omega_i = I_d\,\omega_f + I_a\,\omega_f
I_d(\omega_i - \omega_f) = I_a\,\omega_f
I_d = I_a\,\frac{\omega_f}{\omega_i - \omega_f}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • \omega_i: velocidade angular do disco ANTES da massa ser colocada (medida experimental).
  • \omega_f: velocidade angular do conjunto APÓS a massa fixar no disco (medida experimental).
  • I_a: momento de inércia da massa adicionada em relação ao eixo (calculado a partir da massa e da posição onde ficou).
  • I_d: momento de inércia do disco (o que queremos obter).
  • Note: esta fórmula assume que \omega_i \ne \omega_f e que a colisão é instantânea e que não há torques externos significativos durante o processo.

Passo 4

Relacionando I_d com a massa do disco:
  • Para um disco uniforme de raio R o momento de inércia em torno do eixo central é
I_d = \frac{1}{2}\,m_{\text{disco}}\;R^2.
  • Assim, combinando com o resultado do passo anterior, a massa calculada do disco é
\frac{1}{2}\,m_{\text{disco,calc}}\,R^2 = I_a\,\frac{\omega_f}{\omega_i - \omega_f}
m_{\text{disco,calc}} = \frac{2 I_a}{R^2}\cdot\frac{\omega_f}{\omega_i - \omega_f}.
Este é o passo-chave: com \omega_i,\omega_f, I_a e R medidos/conhecidos você calcula m_{\text{disco,calc}} e o compara com m_{\text{disco,real}} = 54,7 \pm 0,5\\ \text{g}.

Passo 5

Como calcular I_a (casos comuns):
  • Se a massa adicionada m_a pode ser tratada como uma partícula puntiforme presa a uma distância r do eixo, então
I_a = m_a\,r^2.
  • Se a massa adicionada for um anel fino de raio r, também I_a = m_a\,r^2.
  • Se for um cilindro/barra com distribuição conhecida, use a fórmula apropriada (somatório/integral). O ponto é: calcule I_a a partir da geometria e da massa conhecida de m_a.

Passo 6

Propagação de incertezas (como fazer na prova, passo a passo):
  • O valor calculado m_{\text{disco,calc}} depende de várias quantidades medidas. A incerteza aproximada \sigma_{m} é obtida por propagação linear:
\sigma_m^2 = \sum_{x} \left(\frac{\partial m_{\text{disco,calc}}}{\partial x}\,\sigma_x\right)^2,
onde x percorre as variáveis medidas \{m_a, r, R, \omega_i, \omega_f\} e \sigma_x são suas incertezas.
  • Exemplo do termo para \omega_f: calcule \partial m_{\text{disco,calc}}/\partial \omega_f usando derivação de funções, e insira \sigma_{\omega_f} para obter a contribuição quadrática. (Na prova mostre a derivada; aqui o método é o importante.)
  • Em muitos experimentos a incerteza em \omega_i,\omega_f domina; então assegure-se de avaliar bem \sigma_{\omega} (por exemplo, através do desvio padrão de várias medidas de tempo para um número fixo de revoluções).

Passo 7

Como decidir se o momento angular foi conservado (regra prática estatística):
  • Calcule a diferença
\Delta = m_{\text{disco,calc}} - m_{\text{disco,real}}.
  • Calcule a incerteza combinada
\sigma_{\text{comb}} = \sqrt{\sigma_{m}^2 + \sigma_{\text{real}}^2},
onde \sigma_{\text{real}} = 0,5\\ \text{g} (dado).
  • Critério de consistência:
    • Se |\Delta| \le 2\,\sigma_{\text{comb}} então os valores são consistentes dentro de aproximadamente 95% de confiança — conclusão: não há evidência estatística de violação da conservação do momento angular (aceita-se conservação dentro das incertezas experimentais).
    • Se |\Delta| > 2\,\sigma_{\text{comb}} então há diferença estatisticamente significativa — conclusão: os dados indicam que o momento angular provavelmente não foi conservado (ou que há erros sistemáticos não contabilizados).
Observação: usar 1\sigma (68%) seria um critério mais frouxo; 2\sigma (95%) é um critério mais conservador e usual em experimentos de bancada.

Passo 8

Interpretação física e como diferentes erros afetam m_{\text{disco,calc}} (explicação prática e intuitiva):
  • Atrito/torque externo durante a colisão: se houver torque externo durante o intervalo da colisão (por exemplo atrito nas buchas, contato com suportes), parte do momento angular pode ser transferida para o suporte, fazendo a relação ideal falhar. Em geral isso tende a reduzir \omega_f medido em comparação ao ideal; como m_{\text{disco,calc}} depende de \omega_f/(\omega_i-\omega_f), uma \omega_f menor (devido a torque dissipativo) costuma produzir um m_{\text{disco,calc}} menor do que o real (ver detalhe abaixo).
  • Desalinhamento / posição errada da massa adicionada: se a massa não ficar exatamente na distância r suposta, o I_a usado será incorreto. Subestimar r leva a subestimar I_a e, portanto, subestimar m_{\text{disco,calc}}.
  • Giro inicial da massa adicionada (não desprezível): se a massa já estiver girando antes de contato, sua contribuição ao momento angular antes da colisão muda a equação (há momento angular adicional que deve ser contabilizado). Ignorar isso leva a erro sistemático no m_{\text{disco,calc}}.
  • Colisão não instantânea ou deslizamento: se a massa desliza antes de agarrar ou existe rebote parcial, a transferência de momento angular não segue a equação simples. Isso pode aumentar ou diminuir \omega_f medido dependendo do detalhe da interação.
  • Erros de medição de \omega: tempos medidos com cronômetro manual têm erro de reação; usar vários períodos e dividir diminui erro relativo. Uma pequena incerteza em \omega_i e \omega_f pode se amplificar na expressão \omega_f/(\omega_i-\omega_f) quando \omega_i e \omega_f são próximos.
  • Distribuição não uniforme do disco ou massa do disco diferente do nominal: se o disco não for homogêneo, a relação I_d=\tfrac12 m R^2 não é exata e isso introduz viés sistemático.
Direção do efeito (resumindo intuitivamente):
  • Se atrito/dissipação reduz \omega_f em relação ao ideal, isso tende a reduzir m_{\text{disco,calc}} (resultado: massa calculada menor que massa real).
  • Se o valor de r usado for maior que o real, I_a será superestimado e então m_{\text{disco,calc}} será superestimado (e vice‑versa).
  • Erros nas medidas de \omega quando \omega_i e \omega_f são próximas geram grande incerteza em m_{\text{disco,calc}} porque o denominador \omega_i-\omega_f fica pequeno.

Passo 9

Como melhorar o experimento (dicas práticas e rápidas, estilo checklist):
  • Reduzir atrito: lubrificar rolamentos, usar rolamentos de baixa fricção, minimizar contato externo durante a colisão.
  • Garantir alinhamento preciso e posicionamento reprodutível de m_a (usar guias para posicionamento).
  • Medir \omega por vários métodos (sensor óptico, fotocélula, vídeo com marcador) e tirar média de várias repetições.
  • Medir tempos para muitas revoluções e dividir para obter \omega com baixa incerteza.
  • Medir R e r cuidadosamente com paquímetro e estimar suas incertezas.
  • Repetir várias corridas e calcular média e desvio-padrão para reduzir erro aleatório.
  • Verificar se a massa adicionada realmente fica fixa (sem deslizar) e se não há giro inicial.

Resposta

Não é possível decidir numericamente se o momento angular foi conservado porque os valores experimentais necessários ( \omega_i,\\ \omega_f,\\ m_a,\\ r,\\ R e suas incertezas) não foram fornecidos. Para comparar, calcule
m_{\text{disco,calc}}=\frac{2 I_a}{R^2}\cdot\frac{\omega_f}{\omega_i-\omega_f},
com I_a=m_a r^2 no caso de massa puntiforme a distância r; em seguida calcule \Delta=m_{\text{disco,calc}}-54,7\\ \text{g} e a incerteza combinada \sigma_{\text{comb}}=\sqrt{\sigma_m^2+0{,}5^2}. Se |\Delta|\le 2\,\sigma_{\text{comb}} então os valores são consistentes e podemos afirmar que o momento angular foi conservado dentro das incertezas; se |\Delta|>2\,\sigma_{\text{comb}} então há evidência de não conservação (ou de erros experimentais significativos).
Possíveis fontes de erro que explicariam uma discrepância: atrito/torques externos durante a colisão (reduzem \omega_f e tendem a subestimar m_{\text{disco,calc}}), desalinhamento ou erro na posição r da massa adicionada (altera I_a), giro inicial da massa adicionada, colisão não instantânea com deslizamento ou rebote, erros de medição de \omega (especialmente se \omega_i e \omega_f forem próximas), e suposições incorretas sobre a distribuição de massa do disco (ou seja, I_d\neq\tfrac12 mR^2).

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