12- Um projéctil é disparado horizontalmente, com inicial de valor
, de um ponto situado 500 m acima do solo. Determine: (a) o tempo em que o projéctil fica no ar; (b) o alcance; (c) a velocidade ao atingir o solo; (d) a velocidade do projéctil a 25 m do solo? (e) o ângulo que forma o vector velocidade ao chegar ao solo; (f) a equação cartesiana da trajectória do projéctil.R: (a)
; (b) 3030 m ; (c)
; (d)
; (e)
; (f)
.
Passo 1
O enunciado dá um projéctil lançado horizontalmente a partir de uma altura e pede várias coisas. Vamos listar claramente o que temos e o que nos pedem:
- Dados fornecidos:
- Velocidade inicial (horizontal):
. - Altura inicial acima do solo:
. - Lançamento horizontal (logo a componente vertical da velocidade inicial é zero).
- Vamos tomar a aceleração da gravidade como
(valor padrão).
- Velocidade inicial (horizontal):
- Perguntas do enunciado:
(a) Determinar o tempo que o projéctil fica no ar.
(b) Determinar o alcance horizontal (distância no solo desde a vertical de lançamento até o impacto).
(c) Determinar a velocidade do projéctil ao atingir o solo (módulo).
(d) Determinar a velocidade do projéctil quando estiver ado solo (ou seja, a ).
(e) Determinar o ângulo que o vetor velocidade forma ao chegar ao solo (medido em relação à horizontal).
(f) Determinar a equação cartesiana da trajectória.
Passo 2
Conceitos e equações básicas (explicação didática). Para um lançamento horizontal, o movimento se separa em duas partes independentes:
- Movimento horizontal: não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), logo a componente horizontal da velocidade é constante.
- Equação da posição horizontal:
, onde é a componente horizontal inicial da velocidade. - Aqui
porque o lançamento é horizontal.
- Equação da posição horizontal:
- Movimento vertical: há aceleração constante
(positivo para baixo se escolhermos medido a partir do solo para cima). - Equação da posição vertical:
. - Equação da velocidade vertical:
. - No nosso caso
(inicialmente sem componente vertical porque o tiro é horizontal).
- Equação da posição vertical:
Explicação dos símbolos:
-
é a posição horizontal no instante . -
é a altura no instante . -
é a velocidade horizontal inicial (constante no tempo). -
é a velocidade vertical inicial (aqui nula). -
é a aceleração da gravidade.
Usaremos essas equações para responder (a)–(f).
Passo 3
(a) Tempo no ar. O projéctil atinge o solo quando
. Como
, a equação vertical fica:
Isolando
:
Substituindo os valores
e
:
Arredondando para uma casa decimal:
.
Passo 4
(b) Alcance horizontal. A posição horizontal no instante do impacto é
Aqui
e usamos
do passo anterior:
Arredondando:
.
Passo 5
(c) Velocidade ao atingir o solo (módulo). Componentes da velocidade no instante de impacto:
- Horizontal:
(constante). - Vertical:
(negativo porque aponta para baixo). Tomamos o valor absoluto para o cálculo do módulo, ou usamos o quadrado.
Calculando
:
Módulo da velocidade:
Calculando:
Passo 6
(d) Velocidade quando o projéctil está a
do solo. Aqui a altura é
, logo a queda já sofrida é
.
Usamos a relação cinemática para velocidade vertical em função da variação de altura (sem depender do tempo):
Como
:
Calculando:
A componente horizontal continua
. Então o módulo da velocidade é
Arredondando:
(para três algarismos significativos).
Passo 7
(e) Ângulo que o vector velocidade forma ao chegar ao solo. Definimos o ângulo
como o ângulo que o vetor velocidade faz em relação à horizontal (positivo para baixo neste caso). Então
Usando
e
:
Passo 8
(f) Equação cartesiana da trajectória
. Eliminamos o tempo entre
e
.
- Da equação horizontal:
. - Substituindo em
:
Substituindo os números
,
e
:
Calculando o coeficiente:
Portanto a equação aproximada é
Passo 9
Verificação rápida (checagem). Se colocarmos
na equação da trajectória:
o que confirma coerência entre alcance e equação da trajectória.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)