12- Um projéctil é disparado horizontalmente, com inicial de valor 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, de um ponto situado 500 m acima do solo. Determine: (a) o tempo em que o projéctil fica no ar; (b) o alcance; (c) a velocidade ao atingir o solo; (d) a velocidade do projéctil a 25 m do solo? (e) o ângulo que forma o vector velocidade ao chegar ao solo; (f) a equação cartesiana da trajectória do projéctil.R: (a) 10,1 \mathrm{~s}; (b) 3030 m ; (c) 315,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (d) 315 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (e) 18,26^{\circ}; (f) y=500-5,44.10^{-5} x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um projéctil lançado horizontalmente a partir de uma altura e pede várias coisas. Vamos listar claramente o que temos e o que nos pedem:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial (horizontal): v_0=300\\ \mathrm{m/s}.
    • Altura inicial acima do solo: y_0=500\\ \mathrm{m}.
    • Lançamento horizontal (logo a componente vertical da velocidade inicial é zero).
    • Vamos tomar a aceleração da gravidade como g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Determinar o tempo que o projéctil fica no ar.
    (b) Determinar o alcance horizontal (distância no solo desde a vertical de lançamento até o impacto).
    (c) Determinar a velocidade do projéctil ao atingir o solo (módulo).
    (d) Determinar a velocidade do projéctil quando estiver a 25\\ \mathrm{m} do solo (ou seja, a y=25\\ \mathrm{m}).
    (e) Determinar o ângulo que o vetor velocidade forma ao chegar ao solo (medido em relação à horizontal).
    (f) Determinar a equação cartesiana da trajectória y(x).

Passo 2

Conceitos e equações básicas (explicação didática). Para um lançamento horizontal, o movimento se separa em duas partes independentes:
  • Movimento horizontal: não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), logo a componente horizontal da velocidade é constante.
    • Equação da posição horizontal: \;x(t)=v_{x0}\,t, onde \;v_{x0} é a componente horizontal inicial da velocidade.
    • Aqui \;v_{x0}=v_0 porque o lançamento é horizontal.
  • Movimento vertical: há aceleração constante -g (positivo para baixo se escolhermos y medido a partir do solo para cima).
    • Equação da posição vertical: \;y(t)=y_0+v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.
    • Equação da velocidade vertical: \;v_y(t)=v_{y0}-g t.
    • No nosso caso v_{y0}=0 (inicialmente sem componente vertical porque o tiro é horizontal).
Explicação dos símbolos:
  • \;x(t) é a posição horizontal no instante t.
  • \;y(t) é a altura no instante t.
  • \;v_{x0} é a velocidade horizontal inicial (constante no tempo).
  • \;v_{y0} é a velocidade vertical inicial (aqui nula).
  • \;g é a aceleração da gravidade.
Usaremos essas equações para responder (a)–(f).

Passo 3

(a) Tempo no ar. O projéctil atinge o solo quando \;y(t)=0. Como \;v_{y0}=0, a equação vertical fica:
0 = y_0 - \tfrac{1}{2} g t^2.
Isolando t:
\tfrac{1}{2} g t^2 = y_0 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\dfrac{2y_0}{g}}.
Substituindo os valores \;y_0=500\\ \mathrm{m} e \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 500}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{1000}{9{,}8}} \approx 10{,}101\\ \mathrm{s}.
Arredondando para uma casa decimal: \;t\approx 10{,}1\\ \mathrm{s}.

Passo 4

(b) Alcance horizontal. A posição horizontal no instante do impacto é
x = v_{x0}\,t.
Aqui \;v_{x0}=300\\ \mathrm{m/s} e usamos t do passo anterior:
x = 300\cdot 10{,}101\approx 3030{,}3\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \;x\approx 3030\\ \mathrm{m}.

Passo 5

(c) Velocidade ao atingir o solo (módulo). Componentes da velocidade no instante de impacto:
  • Horizontal: \;v_x = v_{x0} = 300\\ \mathrm{m/s} (constante).
  • Vertical: \;v_y = v_{y0}-g t = -g t (negativo porque aponta para baixo). Tomamos o valor absoluto para o cálculo do módulo, ou usamos o quadrado.
Calculando \;v_y:
v_y = -9{,}8\cdot 10{,}101 \approx -98{,}99\\ \mathrm{m/s}.
Módulo da velocidade:
\|v\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{300^2 + (-98{,}99)^2}.
Calculando:
\|v\| = \sqrt{90000 + 9801{,}0} = \sqrt{99801{,}0}\approx 315{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

(d) Velocidade quando o projéctil está a 25\\ \mathrm{m} do solo. Aqui a altura é \;y=25\\ \mathrm{m}, logo a queda já sofrida é \Delta y = y_0 - y = 500 - 25 = 475\\ \mathrm{m}.
Usamos a relação cinemática para velocidade vertical em função da variação de altura (sem depender do tempo):
v_y^2 = v_{y0}^2 + 2g\,\Delta y.
Como \;v_{y0}=0:
v_y = \sqrt{2g\Delta y} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 475}.
Calculando:
v_y \approx \sqrt{9310} \approx 96{,}53\\ \mathrm{m/s}.
A componente horizontal continua \;v_x=300\\ \mathrm{m/s}. Então o módulo da velocidade é
\|v\| = \sqrt{300^2 + 96{,}53^2} \approx \sqrt{90000 + 9310} = \sqrt{99310} \approx 315{,}17\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: \;315\\ \mathrm{m/s} (para três algarismos significativos).

Passo 7

(e) Ângulo que o vector velocidade forma ao chegar ao solo. Definimos o ângulo \theta como o ângulo que o vetor velocidade faz em relação à horizontal (positivo para baixo neste caso). Então
\tan\theta = \dfrac{|v_y|}{v_x}.
Usando |v_y|\approx 98{,}99\\ \mathrm{m/s} e v_x=300\\ \mathrm{m/s}:
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{98{,}99}{300}\right) \approx \arctan(0{,}32997)\approx 18{,}26^\circ.

Passo 8

(f) Equação cartesiana da trajectória y(x). Eliminamos o tempo entre x(t)=v_{x0}t e y(t)=y_0 - \tfrac{1}{2} g t^2.
  • Da equação horizontal: t=\dfrac{x}{v_{x0}}.
  • Substituindo em y(t):
y(x)=y_0 - \tfrac{1}{2} g \left(\dfrac{x}{v_{x0}}\right)^{\!2}.
Substituindo os números \;y_0=500, \;g=9{,}8 e \;v_{x0}=300:
y(x)=500 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot \dfrac{x^2}{300^2} =500 - 4{,}9\cdot \dfrac{x^2}{90000}.
Calculando o coeficiente:
\dfrac{4{,}9}{90000}=5{,}444\ldots \times 10^{-5}\approx 5{,}44\times 10^{-5}.
Portanto a equação aproximada é
y(x)=500 - 5{,}44\times 10^{-5}\,x^2.

Passo 9

Verificação rápida (checagem). Se colocarmos x\approx 3030\\ \mathrm{m} na equação da trajectória:
y(3030)\approx 500 - 5{,}44\times 10^{-5}\cdot (3030)^2 \approx 0\\ (\text{aproximadamente}),
o que confirma coerência entre alcance e equação da trajectória.

Resposta

(a) 10{,}1\\ \mathrm{s}
(b) 3030\\ \mathrm{m}
(c) 315{,}9\\ \mathrm{m/s}
(d) 315\\ \mathrm{m/s}
(e) 18{,}26^\circ
(f) y=500-5{,}44\times 10^{-5}\,x^{2}

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