9- Um móvel parte do repouso com aceleração constante de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a qual mantém durante 6 s . Em seguida, ele continua com movimento rectilíneo uniforme durante 4 s. Finalmente, ele percorre 24 m , em movimento rectilíneo uniformemente retardado, até parar. (a) Construir o gráfico da velocidade vs tempo (\mathrm{v}=\mathrm{f}(\mathrm{t})). (b) Determinar a distância total percorrida pelo móvel.

Passo 1

Enunciado resumido e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O móvel parte do repouso, ou seja, velocidade inicial \,v_0=0.
  • Durante os primeiros 6\\ \mathrm{s} tem aceleração constante \,a_1=4\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Em seguida mantém movimento retilíneo uniforme durante 4\\ \mathrm{s}.
  • Finalmente percorre 24\\ \mathrm{m} em movimento retilíneo uniformemente retardado até parar.
  • Perguntas:
    (a) construir o gráfico da velocidade em função do tempo v=f(t);
    (b) determinar a distância total percorrida pelo móvel.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Aceleração média/constante \,a é a taxa de variação da velocidade: a relação básica para aceleração constante é
v = v_0 + a\,t,
onde \,v é a velocidade no instante \,t, \,v_0 é a velocidade inicial e \,a é a aceleração. Aqui todas as variáveis estão em unidades padrão: \mathrm{m/s} para velocidade, \mathrm{m/s^2} para aceleração e \mathrm{s} para tempo.
  • Para deslocamento (distância) em movimento com aceleração constante usamos
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde \,s é o deslocamento no intervalo de duração \,t.
  • Outra fórmula útil que relaciona velocidade e deslocamento sem envolver tempo é
v^2 = v_0^2 + 2 a s,
onde \,s é o deslocamento ocorrido sob aceleração \,a.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo nas três fases do movimento.

Passo 3

Primeira fase: aceleração constante \,a_1=4\\ \mathrm{m/s^2} durante \,t_1=6\\ \mathrm{s}, com \,v_0=0.
Velocidade ao fim dessa fase \,v_1 obtida por
v_1 = v_0 + a_1 t_1.
Substituindo:
v_1 = 0 + 4\cdot 6 = 24\\ \mathrm{m/s}.
Então ao tempo \,t=6\\ \mathrm{s} a velocidade vale \,24\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Descrição do gráfico na primeira fase (para esboçar v vs t):
  • No intervalo 0\le t\le 6 a velocidade cresce linearmente a partir de (0,0) até (6,24) com inclinação (slope) igual a \,a_1=4\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A expressão da velocidade nesse intervalo é
v(t)=4t\quad \text{para }0\le t\le 6.

Passo 5

Segunda fase: movimento retilíneo uniforme durante \,t_2=4\\ \mathrm{s}, ou seja do instante \,t=6\\ \mathrm{s} até \,t=10\\ \mathrm{s}.
  • A velocidade permanece constante em \,v=24\\ \mathrm{m/s}.
  • No gráfico, isso é uma linha horizontal entre os pontos (6,24) e (10,24).
  • A expressão é
v(t)=24\quad \text{para }6\le t\le 10.

Passo 6

Terceira fase: começa em \,t=10\\ \mathrm{s} com velocidade inicial dessa fase \,v_{2}=24\\ \mathrm{m/s} e termina quando o móvel pára (velocidade final \,v_f=0), percorrendo \,s_3=24\\ \mathrm{m}. Aqui temos movimento uniformemente retardado (aceleração negativa desconhecida \,a_3).
Usamos a fórmula sem tempo:
v_f^2 = v_{2}^2 + 2 a_3 s_3.
Substituindo v_f=0, v_{2}=24 e s_3=24:
0 = 24^2 + 2 a_3 \cdot 24.
Isolando \,a_3:
a_3 = -\frac{24^2}{2\cdot 24} = -\frac{576}{48} = -12\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto a desaceleração é \,12\\ \mathrm{m/s^2} no sentido de reduzir a velocidade (aqui negativa).

Passo 7

Tempo da terceira fase (tempo que leva para parar sob essa desaceleração):
Usamos v_f = v_{2} + a_3 t_3. Substituindo 0 = 24 + (-12)\,t_3:
t_3 = \frac{24}{12} = 2\\ \mathrm{s}.
Logo a terceira fase vai de t=10\\ \mathrm{s} até t=12\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Descrição do gráfico na terceira fase e expressão de v(t):
  • No intervalo 10\le t\le 12 a velocidade decresce linearmente de (10,24) até (12,0) com inclinação \,a_3=-12.
  • Uma forma elegante da expressão é:
v(t)=24-12\,(t-10)\quad \text{para }10\le t\le 12.
(Verifique em t=10 24, em t=12 0.)

Passo 9

Resumo do gráfico v=f(t)\) (parte (a)): - É uma função peça a peça (piecewise) com três ramos: \[v(t)=\begin{cases} 4t, & 0\le t\le 6,\\[6pt] 24, & 6\le t\le 10,\\[6pt] 24-12(t-10), & 10\le t\le 12. \end{cases}
  • Pontos chave do gráfico: (0,0)\], \((6,24), (10,24), (12,0).
  • Gráfico: reta crescente (slope +4) até (6,24), linha horizontal até (10,24), reta decrescente (slope -12) até (12,0).]

Passo 10

Cálculo das distâncias percorridas em cada fase e distância total (parte (b)), com contas detalhadas:
  1. Distância na primeira fase ( 0\to 6\\ \mathrm{s}), usando s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 com v_0=0, a=4, t=6:
s_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6^2 = 2\cdot 36 = 72\\ \mathrm{m}.
  1. Distância na segunda fase (movimento uniforme, 6\to 10\\ \mathrm{s}): v=24, duração 4\\ \mathrm{s}:
s_2 = v\cdot t = 24\cdot 4 = 96\\ \mathrm{m}.
  1. Distância na terceira fase é dada no enunciado:
s_3 = 24\\ \mathrm{m}.
Somando tudo:
s_{\text{total}} = s_1 + s_2 + s_3 = 72 + 96 + 24 = 192\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v(t)=\begin{cases}4t,&0\le t\le 6,\\[6pt]24,&6\le t\le 10,\\[6pt]24-12(t-10),&10\le t\le 12,\end{cases} com pontos chave (0,0),(6,24),(10,24),(12,0).
(b) 192\\ \mathrm{m}]

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