9- Um móvel parte do repouso com aceleração constante de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a qual mantém durante 6 s . Em seguida, ele continua com movimento rectilíneo uniforme durante 4 s. Finalmente, ele percorre 24 m , em movimento rectilíneo uniformemente retardado, até parar. (a) Construir o gráfico da velocidade vs tempo (\mathrm{v}=\mathrm{f}(\mathrm{t})). (b) Determinar a distância total percorrida pelo móvel.
Passo 1
Enunciado resumido e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
O móvel parte do repouso, ou seja, velocidade inicial \,v_0=0.
Durante os primeiros 6\\ \mathrm{s} tem aceleração constante \,a_1=4\\ \mathrm{m/s^2}.
Em seguida mantém movimento retilíneo uniforme durante 4\\ \mathrm{s}.
Finalmente percorre 24\\ \mathrm{m} em movimento retilíneo uniformemente retardado até parar.
Perguntas:
(a) construir o gráfico da velocidade em função do tempo v=f(t);
(b) determinar a distância total percorrida pelo móvel.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
Aceleração média/constante \,a é a taxa de variação da velocidade: a relação básica para aceleração constante é
v = v_0 + a\,t,
onde \,v é a velocidade no instante \,t, \,v_0 é a velocidade inicial e \,a é a aceleração. Aqui todas as variáveis estão em unidades padrão: \mathrm{m/s} para velocidade, \mathrm{m/s^2} para aceleração e \mathrm{s} para tempo.
Para deslocamento (distância) em movimento com aceleração constante usamos
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde \,s é o deslocamento no intervalo de duração \,t.
Outra fórmula útil que relaciona velocidade e deslocamento sem envolver tempo é
v^2 = v_0^2 + 2 a s,
onde \,s é o deslocamento ocorrido sob aceleração \,a.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo nas três fases do movimento.
Passo 3
Primeira fase: aceleração constante \,a_1=4\\ \mathrm{m/s^2} durante \,t_1=6\\ \mathrm{s}, com \,v_0=0.
Velocidade ao fim dessa fase \,v_1 obtida por
v_1 = v_0 + a_1 t_1.
Substituindo:
v_1 = 0 + 4\cdot 6 = 24\\ \mathrm{m/s}.
Então ao tempo \,t=6\\ \mathrm{s} a velocidade vale \,24\\ \mathrm{m/s}.
Passo 4
Descrição do gráfico na primeira fase (para esboçar v vs t):
No intervalo 0\le t\le 6 a velocidade cresce linearmente a partir de (0,0) até (6,24) com inclinação (slope) igual a \,a_1=4\\ \mathrm{m/s^2}.
A expressão da velocidade nesse intervalo é
v(t)=4t\quad \text{para }0\le t\le 6.
Passo 5
Segunda fase: movimento retilíneo uniforme durante \,t_2=4\\ \mathrm{s}, ou seja do instante \,t=6\\ \mathrm{s} até \,t=10\\ \mathrm{s}.
A velocidade permanece constante em \,v=24\\ \mathrm{m/s}.
No gráfico, isso é uma linha horizontal entre os pontos (6,24) e (10,24).
A expressão é
v(t)=24\quad \text{para }6\le t\le 10.
Passo 6
Terceira fase: começa em \,t=10\\ \mathrm{s} com velocidade inicial dessa fase \,v_{2}=24\\ \mathrm{m/s} e termina quando o móvel pára (velocidade final \,v_f=0), percorrendo \,s_3=24\\ \mathrm{m}. Aqui temos movimento uniformemente retardado (aceleração negativa desconhecida \,a_3).
Usamos a fórmula sem tempo: