17- Um canhão dispara sucessivamente dois projécteis com velocidade
; o primeiro com ângulo
e o segundo com ângulo
para a horizontal, sendo o azimute o mesmo. Desprezar o arrasto de ar, encontrar o intervalo de tempo entre os disparos que levam ao colisão dos projécteis. R: 11 s.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
-
Dados fornecidos:
- Velocidade inicial comum:
. - Ângulos de lançamento (com a horizontal):
(primeiro projéctil) e (segundo projéctil). - Os dois projécteis são disparados do mesmo ponto e têm o mesmo azimute (mesma direção horizontal), ou seja, movem-se num mesmo plano vertical.
- Despreza-se o arrasto do ar.
- A aceleração da gravidade usaremos como
.
- Velocidade inicial comum:
-
O que o problema pede:
- Encontrar o intervalo de tempo entre os disparos (tempo que se espera entre o primeiro e o segundo disparo) tal que os dois projécteis colidam em voo.
Passo 2
Modelagem do movimento (o essencial que precisamos saber):
-
Num movimento tipo projéctil, se um projéctil é lançado com velocidade
num ângulo em relação à horizontal, suas componentes da velocidade inicial são: Aquié a componente horizontal (constante no tempo sem arrasto) e é a componente vertical. -
As equações de posição (com origem no local de lançamento) são:
onde
é o tempo contado desde o lançamento daquele projéctil, e
é a aceleração da gravidade.
- Plano de ataque para colisão:
- Suponha que o primeiro projéctil é lançado em
. - O segundo é lançado depois, no instante
(T é o intervalo que queremos). - Seja
o tempo (a partir do instante ) em que ocorre a colisão. Então: - Para o primeiro projéctil o tempo de voo até a colisão é
. - Para o segundo projéctil o tempo de voo até a colisão é
(deve ser positivo).
- Para o primeiro projéctil o tempo de voo até a colisão é
- Para colisão, as coordenadas
dos dois projécteis no instante global devem ser iguais: igualamos as componentes horizontais e verticais.
- Suponha que o primeiro projéctil é lançado em
Passo 3
Escrevendo as equações para os dois projécteis:
-
Primeiro projéctil (
): -
Segundo projéctil (
), lançado no instante , então seu tempo de voo na colisão é . Suas equações (em função de ) são: -
Condição de colisão (coincidência de posições) dá duas igualdades:
- Podemos simplificar a primeira igualdade (os
se cancelam). Usando valores trigonométricos exatos: Logo: Portanto obtemos a relação simples entre os tempos:
Passo 4
Usamos a igualdade vertical e substituímos
:
-
Valores de senos:
-
Igualdade vertical:Substituindo
e os senos: -
Simplificar termos do lado direito:entãoEentão
-
A igualdade vertical fica então:
Passo 5
Isolando
a partir da equação obtida:
-
Leve todos termos para um lado:
-
Simplificar coeficientes:
Assim:
-
Fatorando
(solução não-trivial ): -
Simplificando a fração:Mas multiplicando corretamente:Substituindo
:
Passo 6
Cálculo numérico de
e do intervalo entre os disparos
:
- Primeiro calculamos
com :
-
Lembrando que
(Passo 3), obtemos: -
O intervalo entre os disparos
é a diferença entre os tempos até colisão: Usando os valores numéricos: -
Arredondando para correspondência com a resposta indicada, temos
.