17- Um canhão dispara sucessivamente dois projécteis com velocidade v_{0}=250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; o primeiro com ângulo \theta_{1}=60^{\circ} e o segundo com ângulo \theta_{2}=45^{\circ} para a horizontal, sendo o azimute o mesmo. Desprezar o arrasto de ar, encontrar o intervalo de tempo entre os disparos que levam ao colisão dos projécteis. R: 11 s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial comum: v_{0}=250\\ \mathrm{m/s}.
    • Ângulos de lançamento (com a horizontal): \theta_{1}=60^{\circ} (primeiro projéctil) e \theta_{2}=45^{\circ} (segundo projéctil).
    • Os dois projécteis são disparados do mesmo ponto e têm o mesmo azimute (mesma direção horizontal), ou seja, movem-se num mesmo plano vertical.
    • Despreza-se o arrasto do ar.
    • A aceleração da gravidade usaremos como g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que o problema pede:
    • Encontrar o intervalo de tempo entre os disparos (tempo que se espera entre o primeiro e o segundo disparo) tal que os dois projécteis colidam em voo.

Passo 2

Modelagem do movimento (o essencial que precisamos saber):
  • Num movimento tipo projéctil, se um projéctil é lançado com velocidade v_{0} num ângulo \theta em relação à horizontal, suas componentes da velocidade inicial são:
    v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
    Aqui v_{0x} é a componente horizontal (constante no tempo sem arrasto) e v_{0y} é a componente vertical.
  • As equações de posição (com origem no local de lançamento) são:
    x(t)=v_{0x}\,t = v_{0}\cos\theta\;t,
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}=v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2},
onde t é o tempo contado desde o lançamento daquele projéctil, e g é a aceleração da gravidade.
  • Plano de ataque para colisão:
    • Suponha que o primeiro projéctil é lançado em t=0.
    • O segundo é lançado depois, no instante t=T (T é o intervalo que queremos).
    • Seja t o tempo (a partir do instante t=0) em que ocorre a colisão. Então:
      • Para o primeiro projéctil o tempo de voo até a colisão é t.
      • Para o segundo projéctil o tempo de voo até a colisão é \tau=t-T (deve ser positivo).
    • Para colisão, as coordenadas (x,y) dos dois projécteis no instante global t devem ser iguais: igualamos as componentes horizontais e verticais.

Passo 3

Escrevendo as equações para os dois projécteis:
  • Primeiro projéctil ( \theta_{1}=60^{\circ}):
    x_{1}(t)=v_{0}\cos 60^{\circ}\,t,\qquad y_{1}(t)=v_{0}\sin 60^{\circ}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
  • Segundo projéctil ( \theta_{2}=45^{\circ}), lançado no instante T, então seu tempo de voo na colisão é \tau=t-T. Suas equações (em função de \tau) são:
    x_{2}(\tau)=v_{0}\cos 45^{\circ}\,\tau,\qquad y_{2}(\tau)=v_{0}\sin 45^{\circ}\,\tau-\tfrac{1}{2}g\tau^{2}.
  • Condição de colisão (coincidência de posições) dá duas igualdades:
    v_{0}\cos 60^{\circ}\,t = v_{0}\cos 45^{\circ}\,\tau
v_{0}\sin 60^{\circ}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2} = v_{0}\sin 45^{\circ}\,\tau-\tfrac{1}{2}g\tau^{2}
  • Podemos simplificar a primeira igualdade (os v_{0} se cancelam). Usando valores trigonométricos exatos: \cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2},\qquad \cos 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.Logo: \tfrac{1}{2}t = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\,\tau \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}\,t = \frac{1}{\sqrt{2}}\,t.Portanto obtemos a relação simples entre os tempos: \tau = \frac{t}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Usamos a igualdade vertical e substituímos \tau:
  • Valores de senos:
    \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Igualdade vertical:
    v_{0}\sin 60^{\circ}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2} = v_{0}\sin 45^{\circ}\,\tau-\tfrac{1}{2}g\tau^{2}.
    Substituindo \tau=\dfrac{t}{\sqrt{2}} e os senos:
    v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2} = v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^{2}.
  • Simplificar termos do lado direito:
    \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \tfrac{1}{2},
    então
    v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt{2}} = v_{0}\cdot\tfrac{1}{2}\,t.
    E
    \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{t^{2}}{2},
    então
    -\tfrac{1}{2}g\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^{2} = -\tfrac{1}{2}g\cdot\frac{t^{2}}{2} = -\tfrac{1}{4}gt^{2}.
  • A igualdade vertical fica então:
    v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,t - \tfrac{1}{2}g t^{2} = v_{0}\cdot\tfrac{1}{2}\,t - \tfrac{1}{4}g t^{2}.

Passo 5

Isolando t a partir da equação obtida:
  • Leve todos termos para um lado:
    v_{0}\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}\right)t -\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\right)g t^{2}=0.
  • Simplificar coeficientes:
    \tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{\sqrt{3}-1}{2},
\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Assim:
v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}\,t - \tfrac{1}{4}g t^{2} = 0.
  • Fatorando t (solução não-trivial t\neq 0):
    t\left[ v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{3}-1}{2} - \tfrac{1}{4}g t \right]=0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{ v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{3}-1}{2} }{ \tfrac{1}{4}g }.
  • Simplificando a fração:
    t = \frac{v_{0}(\sqrt{3}-1)/2}{g/4} = \frac{v_{0}(\sqrt{3}-1)}{2}\cdot\frac{4}{g} = \frac{2v_{0}(\sqrt{3}-1)}{g}\cdot \;(\text{rearranjo})
    Mas multiplicando corretamente:
    t = \frac{4}{g}\cdot\frac{v_{0}(\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{2v_{0}(\sqrt{3}-1)}{g}.
    Substituindo v_{0}=250\\ \mathrm{m/s}:
    t = \frac{2\cdot 250\;(\sqrt{3}-1)}{g} = \frac{500(\sqrt{3}-1)}{g}.

Passo 6

Cálculo numérico de t e do intervalo entre os disparos T:
  • Primeiro calculamos t com g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}: \sqrt{3}\approx 1,7320508\quad\Rightarrow\quad \sqrt{3}-1\approx 0,7320508.
t = \frac{500\cdot 0,7320508}{9,8} \approx \frac{366,0254}{9,8} \approx 37,35\\ \mathrm{s}.
  • Lembrando que \tau=\dfrac{t}{\sqrt{2}} (Passo 3), obtemos:
    \tau \approx \frac{37,35}{1,4142136} \approx 26,41\\ \mathrm{s}.
  • O intervalo entre os disparos T é a diferença entre os tempos até colisão:
    T = t-\tau = t\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
    Usando os valores numéricos:
    T \approx 37,35\cdot(1-0,7071068) \approx 37,35\cdot 0,2928932 \approx 10,94\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando para correspondência com a resposta indicada, temos T\approx 11\\ \mathrm{s}.

Resposta

11\\ \mathrm{s}

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