11- Um foguete pra pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. O combustível, que lhe imprime uma aceleração
durante o período de queima, esgota-se após 0,5 minutos. Mesmo assim, o foguete ainda continuou a subir. (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete se pudéssemos desprezar a resistência do ar? (b) Com que velocidade e depois de quanto tempo ele voltaria a atingir o solo? R: (a)
; (b)
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Dados fornecidos:
- A aceleração devido ao combustível é
durante o período de queima. - O tempo de queima é
(ou seja, ). - Devemos desprezar a resistência do ar.
- A aceleração da gravidade que usaremos é
. - Admitimos que o foguete parte do solo com velocidade inicial nula (
).
- A aceleração devido ao combustível é
-
Perguntas:
- (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete (desprezando arrasto)?
- (b) Com que velocidade ele atingiria o solo e depois de quanto tempo isso ocorreria?
- Observação: para coincidir com as respostas indicadas, vamos interpretar o tempo pedido em (b) como o tempo contado a partir do instante em que o combustível se esgota até o impacto no solo (tempo após o término da queima).
Passo 2
Estratégia física do problema (sem calcular ainda): o movimento tem duas fases importantes;
- fase de queima (aceleração constante fornecida pelo combustível) — durante
; - fase após término do combustível: o foguete sobe desacelerando sob a gravidade até atingir o ponto mais alto (velocidade zero), e depois cai até o solo sob a gravidade.
Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado na fase 1 e as relações cinemáticas / conservação de energia na fase 2 para obter altura máxima, velocidade de impacto e tempos.
Passo 3
Cinemática na fase de queima — velocidade no instante em que o combustível se esgota:
- Fórmula usada:
. Aqui é a velocidade após tempo , é a velocidade inicial e a aceleração constante. - Aplicando ao nosso caso:
. - Cálculo:
- Interpretação:
é a velocidade para cima no instante em que a queima termina.
Passo 4
Deslocamento durante a queima (altura alcançada ao final da queima, medida desde o solo):
- Fórmula usada:
. - Aplicando:
. - Cálculo:
- Interpretação: ao término da queima o foguete já subiu
acima do solo.
Passo 5
Subida após o fim da queima até o ponto mais alto — altura adicional:
- Durante essa fase a única aceleração é
. Uma relação muito útil é a da cinemática sem tempo: onde é a velocidade no topo ( ), é a velocidade inicial dessa fase e é o acréscimo de altura até o ápice. - Como no ápice
, isolamos : - Substituindo
e : - Interpretação: além dos
da queima, o foguete sobe mais até o ponto mais alto.
Passo 6
Altura máxima total:
- Somamos os dois deslocamentos:
- Arredondando razoavelmente:
- Interpretação: essa é a altitude máxima (desprezando resistência do ar).
Passo 7
Velocidade de impacto com o solo:
- Podemos usar conservação de energia ou a relação
porque o corpo parte do repouso no ápice e cai uma distância . - Aplicando:
- Arredondando:
- Interpretação: essa é a velocidade com que o foguete atinge o solo (em módulo).
Passo 8
Cálculo do tempo desde o término da queima até o impacto (o que a resposta indicada fornece):
- Tempo do instante da queima até o ápice (subida após burnout): usamos
porque a velocidade decresce linearmente até zero. - Tempo da queda do ápice até o solo: como a velocidade ao atingir o solo é
, o tempo de queda desde o repouso no ápice é (porque a velocidade cresce linearmente com aceleração ). - Tempo total contado a partir do fim da queima até o impacto:
- (Se quisermos o tempo total desde o lançamento até o impacto, soma-se o tempo de queima:
.)
Resposta
(a)
(b)
(b)