11- Um foguete pra pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. O combustível, que lhe imprime uma aceleração a=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} durante o período de queima, esgota-se após 0,5 minutos. Mesmo assim, o foguete ainda continuou a subir. (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete se pudéssemos desprezar a resistência do ar? (b) Com que velocidade e depois de quanto tempo ele voltaria a atingir o solo? R: (a) \mathbf{1 0 7 8 1 , 6 m}; (b) \mathbf{5 7 9 m} \boldsymbol{/} \mathbf{s e} \mathbf{1 0 5 s}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração devido ao combustível é \;a=15\\ \mathrm{m/s^{2}}\; durante o período de queima.
    • O tempo de queima é \;0{,}5\\ \text{minuto}\; (ou seja, \;0{,}5\times60=30\\ \mathrm{s}\;).
    • Devemos desprezar a resistência do ar.
    • A aceleração da gravidade que usaremos é \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\;.
    • Admitimos que o foguete parte do solo com velocidade inicial nula ( \;v_0=0\;).
  • Perguntas:
    • (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete (desprezando arrasto)?
    • (b) Com que velocidade ele atingiria o solo e depois de quanto tempo isso ocorreria?
      • Observação: para coincidir com as respostas indicadas, vamos interpretar o tempo pedido em (b) como o tempo contado a partir do instante em que o combustível se esgota até o impacto no solo (tempo após o término da queima).

Passo 2

Estratégia física do problema (sem calcular ainda): o movimento tem duas fases importantes;
  1. fase de queima (aceleração constante fornecida pelo combustível) — durante \;t_{b}=30\\ \mathrm{s}\;;
  2. fase após término do combustível: o foguete sobe desacelerando sob a gravidade até atingir o ponto mais alto (velocidade zero), e depois cai até o solo sob a gravidade.
    Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado na fase 1 e as relações cinemáticas / conservação de energia na fase 2 para obter altura máxima, velocidade de impacto e tempos.

Passo 3

Cinemática na fase de queima — velocidade no instante em que o combustível se esgota:
  • Fórmula usada: \;v = v_{0} + a t\;. Aqui \;v\; é a velocidade após tempo \;t, \;v_{0}\; é a velocidade inicial e \;a\; a aceleração constante.
  • Aplicando ao nosso caso: \;v_{0}=0,\\ a=15\\ \mathrm{m/s^{2}},\\ t_{b}=30\\ \mathrm{s}.
  • Cálculo: v_{1} = 0 + 15\cdot 30 = 450\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: \;v_{1}=450\\ \mathrm{m/s}\; é a velocidade para cima no instante em que a queima termina.

Passo 4

Deslocamento durante a queima (altura alcançada ao final da queima, medida desde o solo):
  • Fórmula usada: \;s = v_{0}t + \tfrac{1}{2} a t^{2}\;.
  • Aplicando: \;v_{0}=0,\\ a=15\\ \mathrm{m/s^{2}},\\ t_{b}=30\\ \mathrm{s}.
  • Cálculo: s_{1} = 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 15 \cdot 30^{2} = 7{,}5 \cdot 900 = 6750\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: ao término da queima o foguete já subiu \;6750\\ \mathrm{m} acima do solo.

Passo 5

Subida após o fim da queima até o ponto mais alto — altura adicional:
  • Durante essa fase a única aceleração é -g. Uma relação muito útil é a da cinemática sem tempo: v^{2} = v_{1}^{2} - 2 g s_{2},onde \;v\; é a velocidade no topo ( 0), \;v_{1}\; é a velocidade inicial dessa fase e \;s_{2}\; é o acréscimo de altura até o ápice.
  • Como no ápice \;v=0, isolamos \;s_{2}: s_{2} = \frac{v_{1}^{2}}{2g}.
  • Substituindo \;v_{1}=450\\ \mathrm{m/s} e \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}: s_{2} = \frac{450^{2}}{2\cdot 9{,}8} = \frac{202500}{19{,}6} \approx 10331{,}632653\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: além dos \;6750\\ \mathrm{m} da queima, o foguete sobe mais \;s_{2} até o ponto mais alto.

Passo 6

Altura máxima total:
  • Somamos os dois deslocamentos: H = s_{1} + s_{2} = 6750 + 10331{,}632653 \approx 17081{,}632653\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente: H \approx 17081{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: essa é a altitude máxima (desprezando resistência do ar).

Passo 7

Velocidade de impacto com o solo:
  • Podemos usar conservação de energia ou a relação \;v_{\text{impact}}=\sqrt{2 g H}\; porque o corpo parte do repouso no ápice e cai uma distância H.
  • Aplicando: v_{\text{impact}} = \sqrt{2\cdot 9{,}8 \cdot 17081{,}632653} \approx \sqrt{334800} \approx 578{,}7\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando: v_{\text{impact}} \approx 579\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: essa é a velocidade com que o foguete atinge o solo (em módulo).

Passo 8

Cálculo do tempo desde o término da queima até o impacto (o que a resposta indicada fornece):
  • Tempo do instante da queima até o ápice (subida após burnout): usamos \;t_{2} = \dfrac{v_{1}}{g}\; porque a velocidade decresce linearmente até zero. t_{2} = \frac{450}{9{,}8} \approx 45{,}918367\\ \mathrm{s}.
  • Tempo da queda do ápice até o solo: como a velocidade ao atingir o solo é \;v_{\text{impact}}\;, o tempo de queda desde o repouso no ápice é \;t_{3} = \dfrac{v_{\text{impact}}}{g}\; (porque a velocidade cresce linearmente com aceleração g). t_{3} = \frac{578{,}7}{9{,}8} \approx 59{,}06\\ \mathrm{s}.
  • Tempo total contado a partir do fim da queima até o impacto: t_{\text{após queima}} = t_{2} + t_{3} \approx 45{,}918 + 59{,}06 \approx 104{,}978\\ \mathrm{s} \approx 105\\ \mathrm{s}.ó
  • (Se quisermos o tempo total desde o lançamento até o impacto, soma-se o tempo de queima: t_{\text{total}} = 30 + 104{,}978 \approx 135\\ \mathrm{s}.)

Resposta

(a) 17081{,}6\\ \mathrm{m}
(b) 579\\ \mathrm{m/s} / 105\\ \mathrm{s}

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