12 Prove que
para todo natural
.
Passo 1
Vamos provar por indução em
que
para todo natural
.
Passo 2
Base da indução
. Calculamos
e
Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
valha
Passo 4
Expressamos o quociente entre o caso
e o caso
:
Note que
logo
Passo 5
Como
, temos
e, portanto,
o que implica
Passo 6
Usando a hipótese indutiva e o fato de o quociente ser menor que
, obtemos
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução, vale
para todo natural
.