12 Prove que \binom{2 n}{n}<2^{2 n-2} para todo natural n \geqslant 5.

Passo 1

Vamos provar por indução em n que
\binom{2n}{n} < 2^{2n-2}
para todo natural n\ge5.

Passo 2

Base da indução n=5. Calculamos
\binom{10}{5} = 252
e
2^{2\cdot5-2} = 2^8 = 256.
Como 252<256, a desigualdade vale para n=5.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum k\ge5 valha
\binom{2k}{k} < 2^{2k-2}.

Passo 4

Expressamos o quociente entre o caso k+1 e o caso k:
\frac{\binom{2(k+1)}{\,k+1\,}}{\binom{2k}{k}} = \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}.
Note que
(2k+1)(2k+2) =4(k+1)^2 - 2(k+1),
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\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2} =4 - \frac{2}{\,k+1\,}.

Passo 5

Como k\ge5, temos k+1\ge6 e, portanto,
\frac{2}{k+1}\le\frac{2}{6}=\frac13,
o que implica
4 - \frac{2}{k+1} < 4 - \frac13 = \frac{11}{3}<4.

Passo 6

Usando a hipótese indutiva e o fato de o quociente ser menor que 4, obtemos
\binom{2(k+1)}{\,k+1\,} = \binom{2k}{k}\,\Bigl(4 - \frac{2}{k+1}\Bigr) < \binom{2k}{k}\cdot4 < 2^{2k-2}\cdot4 =2^{2(k+1)-2}.
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, vale
\binom{2n}{n} < 2^{2n-2}
para todo natural n\ge5.

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